算法学习之路|二分图的最大匹配—匈牙利算法（Dfs实现）

最新推荐文章于 2024-12-09 19:26:02 发布

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原文链接：https://yq.aliyun.com/articles/490130

本文介绍了二分图的基本概念及匹配理论，并详细解释了匈牙利算法的原理和实现过程，通过DFS递归查找增广路径来求解最大匹配问题。

二分图的概念：二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

匹配：在图论中，一个匹配是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边...形成的路径叫交替路。

增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点，则这条交替路称为增广路。

增广路有个重要特点就是：未匹配边数比匹配边数多一，这样就可以让未匹配边和匹配边身份交换使得匹配边数加一，所以一直寻找增广路来增加匹配数，直到找不到增光路为止。

代码实现（Dfs）：

struct Edge
{
    int from；
    int to;
};
vector <int> G[max];//存储i点的出发点编号
int matchingnode[max];
int check[max];
int Dfs(int u)
{
    vector <int>::iterator it;
    for(it=G[u].begin();it!=G[u].end();it++)
    {
        int v=*it;
        if(!check[v])//判断是否在交替路中
        {
            check[v]=1;
            if(matchingnode[v]==-1||Dfs(matchingnode[v]))//是否是匹配点
            {
                matching[v]=u;
                matching[u]=v;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int hungarian ()
{
    int _count;
    memset(matchingnode,-1,sizeof(matchingnode));
    for(int i=0;i<max;i++)
    {
        if(matchingnode[i]==-1)
        {
            memset(check,0,sizeof(check));
            if(Dfs(i))
                _count++;
        }
    }
    return _count;
}