牛顿逼近法求迭代式及应用

最新推荐文章于 2024-03-04 23:09:08 发布

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#java

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基本原理

先将原问题表达为 f(x)=0 求零根问题
设 r 是 f(x)=0 的一个根，则 x₀处的切线方程为

选取 x₀ 为接近根的初始值，不断用过点的切线将的过程就是迭代过程。
所以 x_n 是的解。
整理并解得:

即为迭代通式。

迭代的适用性

首先原函数的导数可以比较容易的可得，且其导函数中不含有形如原函数的因子。
另外需要关注两个问题：

迭代是否收敛？直接决定是否可以使用迭代法
迭代的收敛速度？决定了逼近的速度

牛顿迭代法具有较高的收敛速度，收敛阶数为＝2。
而牛顿迭代法的局部收敛性较强，只有初值充分地接近，才能确保迭代序列的收敛性。
为了放宽对局部收敛性的限制，必须再增加条件建立以下收敛的充分条件。

对于f(x)在区间[a,b]上，需满足：

f(a)f(b)<0，即保证根的存在性
f'(x)≠0，单调性是一致的，即有唯一的解
f"(x) 不变号，即函数的凹向不变
f'(x₀)f"(x₀)>0

因此，在放宽x₀取值时，必须要满足上述4个条件才可以迭代逼近。

求的迭代式

该问题等价于的问题。
所以有 f'(x)=2x ，代入到迭代通式中得：

简化整理得：

即为的逼近法解决的迭代式。

求的迭代式

该问题等价于。
所以有 f'(x)=3x² ，代入到迭代通式中得：

简化整理得：

即为的逼近法解决的迭代式。

实际应用

讨论牛顿逼近法一方面可以了解Math.sqrt()实现，另一方面，对于大数计算/高精度计算就显得非常重要了。

例如Java中BigDecimal对象没有sqrt方法，如果需要对一个大数（或者一个高精度实数）进行开方应该怎么办？

就按照上面的方法我们自己实现一个：（关键点就是得到迭代式）

// 利用BigDecimal做数值容器
// 利用上面求出的牛顿法迭代式
// 实现  对任意大数/任意精度实数进行开方
static BigDecimal newtonMethodSqrt2 (BigDecimal a, int precision) {
          BigDecimal _2 = new BigDecimal(2);
          BigDecimal xn = a.divide(_2);     // x0的初始值
          MathContext mc = new MathContext(precision, RoundingMode.HALF_UP);
          int loop = (int) Math.ceil(Math.log(precision) / Math.log(2));
          for (int i = loop; i >= 0; i--) {
                xn = xn.add(a.divide(xn, mc)).divide(_2, mc); // 上面求出的迭代式
          }
          return xn;
}

public static void main(String[] args) {
          System.out.println(newtonMethodSqrt2(new BigDecimal(2), 100));
}

这就是对一个大数/高精度数进行开方的运算（指定了100位精度），看一下运算结果，再对比一下高精度计算器bc的结果：