文章对应视频讲解：(Newton)牛顿插值法
Lagrange 插值
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优点：容易得到，公式紧凑
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不足：当增删节点时，计算需重新进行
解决方案：采用新的基函数，逐次生成多项式。 下面介绍 Newton 插值
一、 Newton插值
已知 n + 1 n+1 n+1 个不同的样本点 ( x i , y i ) , i = 0 , 1 , 2 , … , n (x_i,y_i),i=0,1,2,\dots,n (xi,yi),i=0,1,2,…,n
n n n 次Newton插值多项式
N n ( x ) = C 0 ϕ 0 ( x ) + C 1 ϕ 1 ( x ) + ⋯ + C n ϕ n ( x ) N_n(x) = C_0\phi_0(x)+C_1\phi_1(x)+\dots+C_n\phi_n(x) Nn(x)=C0ϕ0(x)+C1ϕ1(x)+⋯+Cnϕn(x)
其使用的基函数如下：
- ϕ 0 ( x ) = 1 \phi_0(x) = 1 ϕ0(x)=1
- ϕ 1 ( x ) = ( x − x 0 ) \phi_1(x) = (x-x_0) ϕ1(x)=(x−x0)
- ϕ 2 ( x ) = ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) \phi_2(x) = (x-x_0)(x-x_1) ϕ2(x)=(x−x0)(x−x1)
- ⋮ \vdots ⋮
- ϕ n ( x ) = ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ⋯ ( x − x n − 1 ) \phi_n(x) = (x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1}) ϕn(x)=(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1)
基函数应满足
( ϕ 0 ( x 0 ) 0 ⋯ 0 ϕ 0 ( x 1 ) ϕ 1 ( x 1 ) ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ϕ 0 ( x n ) ϕ 1 ( x n ) ⋯ ϕ n ( x n ) ) ( C 0 C 1 ⋮ C n ) = ( y 0 y 1 ⋮ y n ) \begin{pmatrix} \phi_0(x_0) & 0 &\cdots&0\\ \phi_0(x_1) & \phi_1(x_1) &\cdots&0\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ \phi_0(x_n) & \phi_1(x_n) &\cdots&\phi_n(x_n)\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_0\\C_1\\\vdots\\C_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y_0\\y_1\\\vdots\\y_n \end{pmatrix} ϕ0(x0)ϕ0(x1)⋮ϕ0(xn)0ϕ1(x1)⋮ϕ1(xn
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