度量空间中紧致性的几个结论
本文探讨了度量空间中紧致性的三个重要性质：子集的紧致性和闭合性的等价关系；有限个紧致子集并集的紧致性；以及有限子集的紧致性。
设 $(X,d)$ 是度量空间.
(a)如果 $Y$ 是 $X$ 的紧致子集合,并且 $Z\subseteq Y$,那么 $Z$ 是紧致的当且仅当 $Z$ 是闭的.
\begin{proof}
当 $Z$ 是紧的,$Z$ 显然是闭的.当 $Z$ 是闭的时候,$Z$ 中的任何一个序列都是 $Y$ 中的序列,根据 $Y$ 的紧致性,该序列在 $Y$ 中有收敛子列,该子列收敛到 $Y$ 中的一个元素$a$.由于 $Z$ 是闭的,因此 $a\in Z$ (为什么?),得证.
\end{proof}
(b)如果 $Y_1,\cdots,Y_n$ 是 $X$ 的 $n$ 个紧致子集合,那么它们的并集 $Y_1\bigcup\cdots\bigcup Y_n$ 也是紧致的.
\begin{proof}
根据有限覆盖定理,该命题很容易得证.
\end{proof}
(c)$X$ 的每个有限子集合(包括空集)是紧致的.
\begin{proof}
当 $X$ 的子集合是空集的时候,显然是紧致的(根据逻辑中的一些原理).当 $X$ 的子集合是非空有限集的时候,显然 该子集合里的任意一个序列都有这样的子列,该子列中所有的项中都是同一个元素,该子列显然是收敛的.
\end{proof}
转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2013/03/04/3827444.html
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