简单约瑟夫环系列（2）【数学推导】

最新推荐文章于 2022-10-15 19:34:28 发布

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本文通过数学公式推导解决了约瑟夫环经典问题。首先为每个人分配编号，然后逐步减少人数并重新编号，最终形成递推公式 x=(x+k)%n。文中还提供了实现该算法的C++代码。

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问题简述见 简单约瑟夫环系列（1）

下面用数学公式推导的方法，解决约瑟夫环经典问题。

第一步，这n个人我们给每一个人一个编号 0 ，1 ，2 ······ n-2,n-1

第二步，当第一轮游戏结束后，这n个人少就变成了n-1个人

第三步，将第一轮结束后剩下的人里面第一个报数的记为K，则这n-1个人的编号为

k,k+1,k+2······n-2,n-1,0,1,2,······k-2(k-1也就是第一轮结束后出局的那个人)

第四步，也是最关键的一步，这n-1个人我们是不是也可以当成第一步那样重新来个编号，如下：

k,k+1,k+2······n-2,n-1,0,1,2,······k-2

0 ，1 ，2 ······ n-3,n-2（少了一个人所以到n-2）

上面和下面一一对应

于是，问题就转换到了n-1的情况，好了，发现了没，递推！

第五步 我们来推导数学公式。

在四步的转换中k - -> 0,那么当我们从反过来从n-1的情况推n的情况的时候，

如果在n-1情况下X是最后胜出的人，那么在n的情况下 X+k就是最后胜出的人。

由此，得出公式x=(x+k)%n

时间复杂度降低到了O（n）。

下面给出代码。

#include<iostream>
#include<stdio.h>

using namespace std;
int main(){
    
    int n,m;
    while(cin>>n>>m){
        int lastPeople=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            lastPeople=(lastPeople+m)%i;
        }
        cout<<lastPeople+1<<endl;
    }
    
    
    return 0;
}

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