用三角形顶点的线性组合来表示三角形内的任意一点

 

如图,三角形 $ABC$.$A,B,C$ 三点的坐标已知道,分别用 $a,b,c$ 表示.我们现在来看看三角形内部或边界任意一点怎么用这三个顶点来表达.易得线段 $BC$ 上的任意给定点 $D$ 的坐标可以表示为 $\lambda b+(1-\lambda)c$,其中 $\lambda\in [0,1]$.线段 $AD$ 上的任意给定点 $E$ 的坐标可以表示为 $\xi(\lambda b+(1-\lambda)c)+(1-\xi)a$,其中 $\xi\in [0,1]$.也即,$E$ 的坐标为 $\xi\lambda b+\xi(1-\lambda)c+(1-\xi)a$.可见,三角形 $ABC$ 内部或边界上的任意一点可以表示为 $p_1a+p_2b+p_3c$,其中 $p_1,p_2,p_3\in [0,1]$ 且 $p_1+p_2+p_3=1$.

 

事实上,如果不限定在三角形内部,则对 $p_1,p_2,p_3$ 的范围没要求,只要求它们想加为1即可.这表明了平面的自由度为2.我们来看线性规划的单纯形法的最简单的情形.我们来看线性方程
$$
a_{11}x_{1}+a_{12}x_2=b_1
$$
且 $a_{11},a_{12}$ 都不是0.且 $x_1,x_2$ 都非负,$b_1$ 也非负.则 $x_1=\frac{b_1}{a_{11}}$ 与 $x_2=\frac{b_1}{a_{12}}$ 都是基解,且该线性方程的基解只有这两个.则该线性方程的所有基可行解都可以用
$$
\lambda x_1+(1-\lambda)x_2=\lambda \frac{b_1}{a_{11}}+(1-\lambda)\frac{b_1}{a_{12}}.
$$
来表示.其中 $\lambda\in [0,1]$.这是简单的.其实,如果不规定 $x_1,x_2$ 必须为非负,则对 $\lambda$ 的范围没要求.这表明直线的自由度为1.

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