陶哲轩实分析习题8.5.15

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本文探讨了集合基数的比较原则，并通过引理证明了任意两个集合的基数之间仅存在一种关系：小于、等于或大于。文章指出，由于任何集合均可视为良序集，故其势可以进行比较。

设集合$A$的基数为$\alpha$,集合$B$的基数为$\beta$.证明以下三种有且仅有一种成立：（1）$\alpha<\beta$（2）$\alpha=\beta$（3）$\beta<\alpha$

 

 


引理：任何一个非空集合$M$,都可以良序化.



由于任何集合都可以看成良序集，而良序集的势是可以比较的.因此任两个集合的基数是可以比较的，命题得证.

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陶哲轩实分析（上）8.5及习题-Analysis I 8.5
城南讲马堂
10-21 1354
这一节在集合上建立一个序order，序分为偏序、全序和良序，依次递进。之后又引入了强归纳法和超限归纳法（zorn引理），这一节的内容安排在数学分析课程中不多见，常见于实变函数或者实分析的开头。个人认为这一节的精华在于习题，给出了很多Axiom of choice和Zorn引理的等价形式，习题做得也是相当吐血。可以想见搞集合论和拓扑学的人脑力有多充沛了。 ##Exercise 8.5.1 This ...
陶哲轩实分析-第8章-无限集合
buck84的专栏
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陶哲轩实分析笔记与习题解答第9章
陶哲轩实分析习题17.3.4
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09-19 123
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Tomcat8.5.15
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Apache Tomcat 8.5.15 是一个广泛使用的开源软件，主要作为Java Servlet和JavaServer Pages（JSP）的Web应用服务器。它由Apache软件基金会维护，是Java EE（现在称为Jakarta EE）规范的一部分，特别是Servlet、JSP和...
apache-tomcat-8.5.15-windows-x86.rar版本压缩包
12-04
apache-tomcat-8.5.15-windows-x86.rar版本压缩包 Tomcat 8.5.15 是补课版本。 让目前 Tomcat 的主流版本能够跟上来。 相对于Tomcat 8.0明显落后很多
tomcat-jdbc-8.5.15.jar
05-31
Tomcat JDBC池软件包 org.apache.tomcat/tomcat-jdbc/8.5.15/tomcat-jdbc-8.5.15.jar
apache-tomcat-8.5.15
08-29
Apache Tomcat 8.5.15 是一个广泛使用的开源软件，它实现了Java Servlet和JavaServer Pages（JSP）规范，使得开发人员能够在Web服务器上部署Java应用。Tomcat是Apache软件基金会的Jakarta项目的一部分，它是一个轻量...
陶哲轩实分析 习题 13.5.1
weixin_33924770的博客
03-10 155
设 $X$ 是集合,令 $\tau=\{\emptyset,X\}$,证明 $(X,\tau)$ 是拓扑空间(叫平凡拓扑).设 $X$ 含有多于一个的元素,证明平凡拓扑不能由在 $X$ 上定义一个度量得到.证明这个拓扑空间既是紧致的又是连通的. 证明:之所以 $(X,\tau)$ 是拓扑空间,是因为首先空集和全集都属于 $\tau$.其次,$X\bigcap X=X\in\tau$,$X\bigc...
陶哲轩实分析习题8.5.5
weixin_34245749的博客
01-17 135
设$f:X\to Y$是从集合$X$到$Y$的函数.假设$Y$是具有某个序关系$\preceq_Y$的偏序集.在$X$上定义一个关系$\preceq_X$使得$x\preceq_X x'$当且仅当$f(x)\preceq_Y f(x')$.证明这个关系使$X$成为一个偏序集. 证明：首先证明$\forall x\in X$,$x\preceq_X x$.这是因为设$f(x)=y$,$y\...
陶哲轩实分析习题8.5.12
weixin_33671935的博客
01-17 133
设$X$和$Y$都是偏序集，分别具有序关系$\preceq_X$和$\preceq_Y$.在笛卡尔乘积$X\times Y$上定义关系$\preceq_{X\times Y}$如下：$(x,y)\preceq_{X\times Y}(x',y')$如果$x\preceq x'$或者$x=x'$且$y\preceq y'$.证明$\preceq_{X\times Y}$在$X\times Y$上...
陶哲轩实分析 习题6.3.3
qq_42889175的博客
01-25 264
大名鼎鼎的单调有界定理。 因为序列(an) ⁣∞n=m(a_n) \! {\infty \atop n=m}(an​)n=m∞​是有界的，故存在上确界a=sup⁡(an) ⁣∞n=ma = \sup (a_n) \! {\infty \atop n=m}a=sup(an​)n=m∞​; 对于任意的正实数ε>0\varepsilon > 0ε>0，由于a−ε<aa-\varepsilon < aa−ε<a，存在自然数NNN使得aN>a−εa_N>a-\vare.
陶哲轩实分析 习题5.5.2
qq_42889175的博客
01-13 400
假设不存在这样的整数，即对于一切L<m⩽KL<m \leqslant KL<m⩽K都有mn、m−1n\frac{m}{n}、\frac{m-1}{n}nm​、nm−1​同时为EEE的上界或同时不为EEE的上界。 设性质P(i)P(i)P(i)定义为：in\frac{i}{n}ni​不是EEE的上界。 下面使用归纳法证明P(K)P(K)P(K)成立，从而产生矛盾。 令m0=L+1m_0 = L+1m0​=L+1， 由于L+1n\frac{L+1}{n}nL+1​与Ln\frac{L}{n.
陶哲轩实分析 习题6.6.5
qq_42889175的博客
01-27 469
先证明a→ba\rightarrow ba→b： 令n0=0n_0=0n0​=0; 设k=1k=1k=1，因为LLL是(an)n=0∞(a_n)_{n=0}^\infty(an​)n=0∞​的极限点，则可以找到某个n1>n0n_1>n_0n1​>n0​使得an1a_{n_1}an1​​是1−1-1−接近于LLL的； 设k=2k=2k=2，因为LLL是(an)n=0∞(a_n)_{n=0}^\infty(an​)n=0∞​的极限点，则可以找到某个n2>n1n_2>n_1n2​.
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Ivan 的专栏
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Ivan 的专栏
02-03 4952
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