正余弦定理

什么叫解三角形？

三角形有三个角和三条边共6个元素，已知这6个元素中的一部分，求其余元素的过程就是解三角形。

正弦定理

• 1、定理的内容

\[\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}=2R(R为三角形的外接圆的半径)\]

• 2、证明方法：

思路一：利用三角形的高证明正弦定理；

思路二：利用三角形的面积证明正弦定理；

思路三：向量法证明正弦定理

思路四：三角形的外接圆证明

思路五：用余弦定理证明正弦定理

待补充

• 3、变形使用形式

边的形式：\(a=2RsinA\)，\(b=2RsinB\)，\(c=2Rsinc\)，

角的形式：\(sinA=\cfrac{a}{2R}\)，\(sinB=\cfrac{b}{2R}\)，\(sinC=\cfrac{c}{2R}\)，

比例形式：\(asinB=bsinA\)，\(asinC=csinA\)，\(bsinC=csinB\)，

连比形式：\(a：b：c=sinA：sinB：sinC\)

其他相关公式：普通三角形的内切圆的半径\(r=\cfrac{2S}{a+b+c}(用割补法证明)\)，

直角三角形的内切圆的半径\(r=\cfrac{1}{2}(a+b-c)(c为斜边)\)。

\(S_{\Delta}=\cfrac{1}{2}absinC=\cfrac{1}{2}bcsinA=\cfrac{1}{2}casinB=\cfrac{abc}{4R}\)

• 4、作用：从\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)分析；

①已知两角及任一边，求其余两边和另一角；

② 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求得其余的边和角。

在\(\Delta ABC\)中，已知\(a，b，A\)，三角形的解的个数这种情形比较复杂，见下表

余弦定理

• 1、定理的内容

边的形式：

\(a^2=b^2+c^2-2bccosA\)；\(b^2=c^2+a^2-2cacosB\)；\(c^2=a^2+b^2-2abcosC\)；

当\(A=\cfrac{\pi}{2}\)时，余弦定理变形为\(a^2=b^2+c^2\)，即勾股定理，故我们说勾股定理时余弦定理的特殊情形。

角的形式：

\(cosA=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)；\(cosB=\cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)；\(cosC=\cfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)；

• 2、证明(10种证明)

• 3、变形使用形式

\(b^2+c^2-a^2=2bccosA\)；\(a^2-b^2-c^2=-2bccosA\)；

\(sin^2C+sin^2A-sin^2B=-\sqrt{3}sinAsinC\)；\(cosB=\cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\cfrac{sin^2C+sin^2A-sin^2B}{2sinAsinC}\)；

• 4、作用

①已知两边及夹角，求第三边，进而求其余两角。

②已知三边，求三个内角。

在使用余弦定理时，我们的思维大多习惯于已知两边及其夹角，求第三边，如图一所示，已知边\(a、c\)和角\(B\)，求第三边\(b\)，此时相当于求函数值一样的简单和容易。有时候当已知两边及一边的对角求第三边时，我们往往就会忘记用余弦定理而转用正弦定理，这样就费事了，其实此时还可以用余弦定理直接求第三边。如图二所示，已知边\(a、b\)和角\(B\)，求第三边\(c\)，我们可以这样\(b^2=a^2+c^2-2accosB\)，转求关于\(c\)的方程即可。

• 余弦定理使用中的思维定式，要避免

例1【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅰ第7题】

\(\Delta ABC\)的内角\(A，B，C\)所对的边分别为\(a，b，c\)，已知\(b=\sqrt{7}\)，\(c=4\)，\(cosB=\cfrac{3}{4}\)，则\(\Delta ABC\)的面积为【】

$A.3\sqrt{7}$ $B.\cfrac{3\sqrt{7}}{2}$ $C.9$ $D.\cfrac{9}{2}$

分析：属于三角函数中已知两边和一边的对角的形式，常用正弦定理或余弦定理求解；

更多的采用余弦定理的方程表达形式，也是考试中对余弦定理考察形式中的高频考查模式。

\(b^2=a^2+c^2-2accosB\)，即\(7=a^2+14-2a\times 4\times\cfrac{3}{4}\)，

得到\(a^2-6a+9=0\)，即\(a=3\)，又由于\(sinB=\cfrac{\sqrt{7}}{4}\)，

故\(S_{\Delta ABC}=\cfrac{1}{2}acsinB=\cfrac{3\sqrt{7}}{2}\)，选\(B\)。

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