三角函数定理

1. 余弦定理 (Cosine Rule)

余弦定理用于求解任意三角形的边长或角度，它给出了三角形的三边和三角形的角之间的关系。公式为：

c2=a2+b2−2abcos⁡Cc2=a2+b2−2abcosC

b2=a2+c2−2accos⁡Bb2=a2+c2−2accosB

a2=b2+c2−2bccos⁡Aa2=b2+c2−2bccosA

其中，aa、bb、cc 是三角形的三边，∠A∠A、∠B∠B、∠C∠C 是对应的角。

用途：

• 求解任意三角形的边长，已知两边及夹角。
• 求解三角形的角度，已知三边。

2. 正弦定理 (Sine Rule)

正弦定理适用于任意三角形（不仅限于直角三角形）。它给出了三角形的边和角之间的关系，公式为：

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡CsinAa​=sinBb​=sinCc​

其中，aa、bb、cc 是三角形的三边，∠A∠A、∠B∠B、∠C∠C 是对应的角。

用途：

• 当已知两个角和一个边（ASA 或 AAS）时，可以用正弦定理求解三角形。
• 当已知两边和一个角（SSA）时，也可以用正弦定理。

3. 正切定理 (Tangent Rule)

正切定理用于求解带有内接圆的三角形。公式为：

a−btan⁡A−B2=b−ctan⁡B−C2=c−atan⁡C−A2tan2A−B​a−b​=tan2B−C​b−c​=tan2C−A​c−a​

这种定理不如余弦定理和正弦定理常见，但在某些特定几何问题中有应用。

4. 三角形的面积公式

海伦公式（Heron's Formula）

给定三角形的三边 aa、bb、cc，其半周长为：

s=a+b+c2s=2a+b+c​

然后，三角形的面积 AA 为：

A=s(s−a)(s−b)(s−c)A=s(s−a)(s−b)(s−c)​

另一种常见的面积公式

如果已知一个角和两边 aa、bb，可以使用以下公式来计算面积：

A=12absin⁡CA=21​absinC

其中，CC 是这两边之间的夹角。

5. 正切和余弦的相互关系

在直角三角形中，正切、余弦、正弦等基本三角函数有着紧密的联系：

• tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θtanθ=cosθsinθ​
• sin⁡2θ+cos⁡2θ=1sin2θ+cos2θ=1

6. 角的加法公式

对于任意角度 αα 和 ββ，有以下加法公式：

• sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
• cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βcos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
• tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡βtan(α+β)=1−tanαtanβtanα+tanβ​（仅当 α+β≠90∘α+β=90∘）

这些公式在解三角形、求解角度以及处理复合角度问题时非常有用。

7. 解三角形的常见方法

• 边-边-角（SSA）：可以用正弦定理或余弦定理解决。特别是SSA情况下，要小心是否存在“二解”问题。
• 边-角-边（SAS）：可以用余弦定理来求解。
• 角-角-边（AAS）：可以用正弦定理来解。
• 角-角-角（AAA）：可以通过相似三角形来求解，计算角度比例。