1.1方程求根之二分法

最新推荐文章于 2022-07-01 17:33:48 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/zyg123/p/10392055.html

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#python

目录
前言
（一）二分法的分析
（二）代码实现
- 1.算法流程图：
- 2.源代码：
（三）案例效果

前言

对于普通的方程，我们用高中学的解方程方法是可以的，不过对于 超越方程 与 高次代数方程 的求解是很困难的，而且也很难得到准确得解，今天我们用Python语言和二分法来求解这些方程，得到满足精度的解，并不是准确。

（一）二分法的分析

1.定义：

在某区间有函数 \(f(x)\) 在区间\([a, b]\) 内单调连续，且\(f(a)*f(b)<0\) ,根据连续函数的性质可知方程在\([a,b]\) 内一定有唯一的实根。

2.需要满足的条件：

\(f(x)\)是单调函数
\(f(x)\)是连续函数
\(f(a)*f(b)<0\)

3.二分法的思想：

不断的分割\([a,b]\) 区间，取\([a,b]\) 的中点值\(x=(a+b)/2\)

当\(f(x)*f(a)<0?\) 时，则根在\([a,x]\) 之间;
当\(f(x)*f(b)<0\) 时，则根在\([x,b]\) 之间。
再分割\(x=(a+b)/2\)

直到\(x\)满足我们的精度，我们取\(x\) 为\(f(x)\) 的近似解。

4.二分法的误差：

我们取的是:第k次分割后的中间值为近似解。

即：\(x_k=\frac{1}{2}(a_k+b_k)\)

对于预先给定的误差：\(\varepsilon>0\)

有：\(|x^*-x_k| \le \frac{1}{2}(b_k-a_k)=\frac{1}{2^k+1}<\varepsilon\)

（二）代码实现

1.算法流程图：

二分法流程图.jpg

2.源代码：

（1）feval函数：

def feval(string, a):
    """
        根据值来计算数学表达式。
    :param string: 含有x未知数的数学表达式
    :param a: 自变量x的具体数值
    :return:  数学表达式的计算结果
    """
    count = string.count("x")
    string = string.replace('x', '%f')
    t = (a, ) * count
    result = eval(string % t)
    return result

（2）二分法

"""
    二分法：
    f(a)*f(b)<0 连续函数f(a)在a,b区间必有根。
"""
from my_math.func_math import feval

def two_fun(expr, a, b, r):
    """
        二分法求解方程
    :param expr: 方程表达式
    :param a: 左端
    :param b: 右端
    :param r: 精度
    :return: 求解的结果
    """
    f_a = feval(expr, a)
    f_b = feval(expr, b)
    if f_a*f_b >= 0:
        print("该区间没有根")
    else:
        k = 0
        while 1/(2**(k+1)) > r:
            x = (b + a)/2
            if feval(expr, a) * feval(expr, x) > 0:
                a = x
            else:
                b = x
            k += 1
            print("*"*20)
            print("次数", k)
            print("x:", x)
            print("a:", a)
            print("b:", b)

    result = (a+b)/2
    print("满足精度的结果：", result)

# 求解1-x-sin(x)=0为例
if __name__ == '__main__':
    two_fun("1-x-sin(x)", 0, 1, 10**-4)