POJ 1222 EXTENDED LIGHTS OUT（高斯消元）

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原文链接：http://www.cnblogs.com/ykzou/p/4862995.html

本文解析了一道经典的开关问题，通过建立模2方程组并运用高斯消元法求解，给出了具体的代码实现及解题思路。针对一个30个开关的矩阵，每次操作改变自身及其相邻开关的状态，目标是找出一系列操作使得所有开关处于关闭状态。

题目链接：http://poj.org/problem?id=1222

题意：就是给你一个初始矩阵（里面每个元素代表一个开关），改变一个开关就可以使得在其上、下、左、右的开关的状态都改变。问若使得所有开关均关闭（开关开为1，关为0），则需要改变哪些开关，并给出要改变的开关的矩阵图，里面的元素为1的表示要改变的开关，为0的表示不要变的开关。

思路：一共30盏灯，每盏灯的方程为 x(i*6+j)+x((i-1)*6+j)+x((i+1)*6+j)+x(i*6+j-1)+x(i*6+j+1)=b(mod 2)。我们知道每盏灯最后状态有本身以及上下左右的5盏灯决定，5盏灯的异或值就是最终的状态，只要求解这个模2方程即可。

code：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cmath>
 4 #include <algorithm>
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int MAXN = 40;
 8 //有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,列数为var+1,分别为0到var
 9 int equ, var;
10 int a[MAXN][MAXN]; //增广矩阵
11 int x[MAXN]; //解集
12 int free_x[MAXN];//用来存储自由变元（多解枚举自由变元可以使用）
13 int free_num;//自由变元的个数
14 
15 //返回值为-1表示无解，为0是唯一解，否则返回自由变元个数
16 int Gauss() {
17     int max_r, col, k;
18     free_num = 0;
19     for (k = 0, col = 0; k <equ&& col <var; k++, col++) {
20         max_r = k;
21         for (int i = k + 1; i<equ; i++) {
22             if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col]))
23                 max_r = i;
24         }
25         if (a[max_r][col] == 0) {
26             k--;
27             free_x[free_num++] = col;//这个是自由变元
28             continue;
29         }
30         if (max_r != k) {
31             for (int j = col; j < var + 1; j++)
32                 swap(a[k][j], a[max_r][j]);
33         }
34         for (int i = k + 1; i<equ; i++) {
35             if (a[i][col] != 0) {
36                 for (int j = col; j < var + 1; j++)
37                     a[i][j] ^= a[k][j];
38             }
39         }
40     }
41     for (int i = k; i<equ; i++)
42     if (a[i][col] != 0)
43         return -1;//无解
44     if (k <var) return var - k;//自由变元个数
45     //唯一解，回代
46     for (int i = var - 1; i >= 0; i--) {
47         x[i] = a[i][var];
48         for (int j = i + 1; j <var; j++)
49             x[i] ^= (a[i][j] && x[j]);
50     }
51     return 0;
52 }
53 
54 int t[MAXN][MAXN];
55 int dir[5][2] = { { 0, 0 }, { 1, 0 }, { 0, 1 }, { -1, 0 }, { 0, -1 } };
56 
57 void init() {
58     memset(t, 0, sizeof(t));
59     for (int i = 0; i < 5; ++i) {
60         for (int j = 0; j < 6; ++j) {
61             for (int k = 0; k < 5; ++k) {
62                 int a = i + dir[k][0];
63                 int b = j + dir[k][1];
64                 if (a >= 0 && b >= 0 && a < 5 && b < 6) {
65                     t[6 * i + j][6 * a + b] = 1;
66                 }
67             }
68         }
69     }
70 }
71 
72 int main()
73 {
74     init();
75     int T;
76     scanf("%d", &T);
77     for (int cas = 1; cas <= T; ++cas) {
78         memcpy(a, t, sizeof(a));
79         for (int i = 0; i < 30; ++i) {
80             scanf("%d", &a[i][30]);
81         }
82         printf("PUZZLE #%d\n", cas);
83         equ = 30;
84         var = 30;
85         if (Gauss() == 0) {
86             for (int i = 0; i < 30; ++i) {
87                 if (i % 6 == 5) {
88                     printf("%d\n", x[i]);
89                 }
90                 else {
91                     printf("%d ", x[i]);
92                 }
93             }
94         }
95     }
96     return 0;
97 }