n选m的又一道题

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原题：为分析用户行为，系统常需存储用户的一些query，但因query非常多，故系统不能全存，设系统每天只存m个query，现设计一个算法，对用户请求的query进行随机选择m个，请给一个方案，使得每个query被抽中的概率相等，并分析之，注意：不到最后一刻，并不知用户的总请求量。

这道题很有趣。来看看怎么做。

这题的一个关键是，由于我们不知道query有多少个，也就是说，我们根本不知道query什么时候突然就没有了！

所以，我们要保证，任何时刻，我们手上拿着的那m个query，都是等可能的。这个特点，再次启发我们使用递归的思路。

假设现在我们手上拿着m个query，并且在过去我们已经累积接受过n-1个query了。现在又来了一个query，它是第n个，我们把它叫做X

由归纳假设，在这个X来之前，我们手上的m个query是等可能被选中的，我们设这个概率为t。

现在，对于这个新来的X，我们有两种选择，我们要么就抛弃它，要么就把它加进来，并且抛弃原来的m个query里的某一个。

那么，算法的原型就出来了：

对于这个X，我们有两种选择：

1. 以概率p抛弃X，原来的m个query不变

2. 以概率1-p保留X，并且将原来的m个query里的任意一个等可能地抛弃，最后得到一个新的m组合

现在要分析这个p到底怎么算出来。

先确定样本空间，这里的样本空间，是n选m的一个组合。

对于情况1，每个样本点对应的概率应该是 t * p，这个比较显然。

情况2的分析就要复杂一点。

考察某个样本点b[1..m]，其中b[m] = X。这个样本点出现的概率是多少呢？

为了让这个样本点出现，我们要把X加进来，然后抛弃原来的m个数里的某一个（我们把它叫做Y）。

举个例子来说吧，假设现在的n = 99， m = 5，X = 99，我们手上的m个数是 5,6,15,50, 99

在我们加入这个99之前，原来的m个数可能的情况是：

{1,5,6,15,50}， {2,5,6,15,50} 。。。。 {5,6,15,50,98}

一共有 98 - 4 = 94种，也就是 (n - 1) - (m - 1)  = n - m 种

而且，这些情况出现的概率都是t，所以，对于某个特定的样本点，出现的概率是 t * (1-p) * (1/m) * (n - m)

显然，一个合理的p必须满足：

t * p =  t * (1-p) * (1/m) * (n - m)

把p解出来，算法就完成了就行了。

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