关于扩展欧几里得

最新推荐文章于 2022-03-09 23:57:29 发布

weixin_33922672

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原文链接：http://www.cnblogs.com/ACRykl/p/8734562.html

给出两个整数a,b

扩展欧几里得可以求出gcd(a,b)，并且能顺带算出一组特解(x,y)，

使ax+by=gcd(a,b)。

其实扩展欧几里得算法就是收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。

原理如下：

设a=r₀，b=r₁，

那么根据辗转相除法，

r₀=q₁*r₁+r₂ (即a=q₁*b+r₂)

r₁=q₂*r₂+r₃

r₂=q₃*r₃+r₄

.......

r_k-4=q_k-3*r_k-3+r_k-2

r_k-3=q_k-2*r_k-2+r_k-1

r_k-2=q_k-1*r_k-1+r_k

r_k-1=q_k*r_k+0，最后一式

那么r_k=gcd(a,b)，这就是辗转相除法，

把上面的k个式子移项，得

r₂=r₀ - q₁*r₁ (即r₂=a-q₁*b)

r₃=r₁- q₂*r₂

r₄=r₄ - q₃*r₃

.......

r_k-2=r_k-4 - q_k-3*r_k-3

r_k-1=r_k-3 - q_k-2*r_k-2

r_k=r_k-2- q_k-1*r_k-1

0=r_k-1 - q_k*r_k对于倒数第二个式子r_k=r_k-2-q_k-1*r_k-1，令x_k-1=1，y_k-1= -q_k-1，

那么倒数第二式变为 r_k=x_k-1*r_k-2 + y_k-1*r_k-1 ，

把倒数第三个式子r_k-1=r_k-3 - q_k-2*r_k-2代入上式消去r_k-1，得

r_k=y_k-1*r_k-3 + (x_k-1 - y_k-1*q_k-2)*r_k-2，与式r_k=x_k-2*r_k-3 + y_k-2*r_k-2 对比系数可知，

x_k-2=y_k-1，

y_k-2=x_k-1 - y_k-1 * q_k-2，其中 q_k-2 = r_k-3 / r_k-2

然后重复上面的过程，依次把倒数第四，五......k个式子代入倒数第二个式子，

便可以依次消去r_k-1,r_k-2,......r₂，而剩下r₀和r₁，

即把r_k表示成a和b的线性组合，r_k=x₁*a + y₁*b，这样便求出了一组特解(x,y)。

可以概括为一句话：收集辗转相除法中产生的式子，从后往前逐一代，就可将

r_k表示成a和b的线性组合。

下面是扩展gcd的程序

#include<cstdio>
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;//好像只要y是a的倍数都行 
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;//这里注意y=t-y*a/b是错的 
    printf("x=%d,y=%d\n",x,y);
    return r;
}

int main()
{
    int a,b,x,y;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    /*exgcd(a,b)求出gcd(a,b),
    并且求出一组特解(x,y)使ax+by=gcd(a,b) */
    int r=exgcd(a,b,x,y);
    printf("x=%d,y=%d,gcd(%d,%d)=%d\n",x,y,a,b,r);
    return 0;
}