5.扩展欧几里得&&中国剩余定理

解方程与同余方程组

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1. 求解不定方程
ax+by=gcd(a,b)
求|x|+|y|最小值
void Ex_gcd(LL a,LL b,LL& d,LL& x,LL& y)
{
if(!b)
{d=a;x=1;y=0;}
else
{
Ex_gcd(b,a%b,d,y,x);
y-=x*(a/b);
}
}
(x,y)的所有解:
g=c/d;a=a/d;b=b/d;
x=g*x0+b*t;
y=g*y0-a*t;

2. 求解模的逆元
ax=1(mod n);
存在条件:gcd(a,n)=1;
LL inv(LL a,LL n)
{
LL d,x,y;
Ex_gcd(a,n,d,x,y);
return d==1?(x+n)%n:-1;
}

3. 求解同余方程
(1) 求解一次同余方程:ax=b(mod m) 即:ax+my=b所有解:
LL f(LL a,LL b,LL m)
{
Ex_gcd(a,m,d,x,y);
if(b%d) return -1;
x=x*(b/d)%m;
for(i=1;i<=d;i++)
ans[i]=(x+(i-1)*m/d)%m;
} ///如果ans[i]为负数,则可以加上m

(2)求解一元线性同余方程组(中国剩余定理)
x=r1(mod a1)
x=r2(mod a2)
...
x=rn(mod an)
求解x的最小值:
LL solve()
{
scanf("%lld%lld",&a1,&r1);
for(i=1;i<n;i++)
{
scanf("%lld%lld",&a2,&r2);
a=a1;b=a2;c=r2-r1;
Ex_gcd(a,b,d,x0,y0);
if(c%d!=0) ifhave=0;
LL t=b/d;
x0=(x0*(c/d)%t+t)%t;
r1=a1*x0+r1;
a1=a1*(a2/d);
}
if(!ifhave) r1=-1;
return r1;
}

如果ai两两互素:
x=a1(mod m1)
x=a2(mod m2)
...
x=an(mod mn)
LL China()
{
M=1;
LL i,Mi,x0,y0,d,ans=0;
for(i=1; i<=n; i++)
M*=m[i];
for(i=1; i<=n; i++)
{
Mi=M/m[i];
Ex_gcd(Mi,m[i],d,x0,y0);
ans=(ans+Mi*x0*a[i])%M;
}
if(ans<0) ans+=M;
return ans;
}

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