本文介绍了离散函数的概念，并通过实例解释了一阶和二阶差分。讨论了差分在求导中的类似作用，特别是在图像处理中检测边缘的重要性。接着，文章详细阐述了拉普拉斯滤波器的工作原理，强调二阶差分在确定边缘存在性上的关键作用，并给出了拉普拉斯算子的数学表达式及其在图像锐化中的应用。
如有写的不对的还望指正！
离散函数
什么是离散函数？我们来看几个例子:
这是 $f(x) = \sin x + \sin {x \over 2}$ 的函数图像。它的定义域是 $R$，是连续的。
再看下图这是 $f(x) = \sin x + \sin {x \over 2}$ 当 $x$ 是 $1\over2$ 的整数倍时的图像。是离散的。这样的定义域是离散集合的函数，称为离散函数。
如果再苛刻一点，定义域是自然数集，值域是实数域，那么这样的函数就是离散数值函数
差分和二阶差分
什么是差分
差分就是相邻两个离散值的差。以函数 $f(x) = x^2,\ x\in Z$为例
$x$
$f(x)$
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
对于 $x = 1$，我们可以知道：
$f(1) = 1 \\f(1 + 1) = 4$
那么差分
$\Delta f(1) = f(1+1) - f(1) = 4 - 1 = 3$
内容补充
这样用$x+1$和 $x$作差的差分，称为向前差分，记号是$\Delta$。另有：
$f(x_i) - f(x_i - h)$：向后差分，记作 $\nabla。$
$f(x_i + h) - f(x_i - h)$ ：中心差分。
如果进行一次泰勒展开，还能得到一阶微分的中心差商，可用于更高精度要求。有兴趣的可以自行了解。
以此类推，可得：
$x$
$f(x)$
$\Delta f(x)$
1
1
3
2
4
5
3
9
7
4
16
9
5
25
$\dots$
你会发现执行一次差分之后，差分值为等差数列。实际上运用这个特点可以让电路进行求导等数学操作，神奇吧？
我们对$\Delta f(x)$ 也执行差分，也就是差分的差分，称为二阶差分。
由此可得：
$x$
$f(x)$
$\Delta f(x)$
$\Delta ^2f(x)$
1
1
3
2
2
4
5
2
3
9
7
2
4
16
9
$\dots$
5
25
$\dots$
$\dots$
二阶差分之后，我们得到了常数列。可以发现差分的作用和求导是十分类似的。
偏导数的差分形式
在实际问题中，我们常常要面对不止一个自变量。比如图像处理中的像素，需要面对$x,\ y$两个自变量。这个时候可以把差分看作类似微分的东西。那么我们对 $x$ 求差分的偏导可以有：
$$
{\delta f\over\delta x} = {f(x, y) - f(x -1, y)\over1}
$$
由于函数是离散的，所以分母的增量是 $0$。
我们把 $y$ 也考虑进来：
$$
{\delta f\over\delta x} = {f(x, y) - f(x -1, y)}\\
{\delta f\over\delta y} = {f(x, y) - f(x , y - 1)}
$$
则二维的一阶差分(向后的)可以表示为：
$$
\begin{align}
\nabla f(x,y) & = {\delta f\over\delta x}+ {\delta f\over\delta y} \\
& = 2{f(x, y) - f(x -1, y)} - f(x , y - 1)
\end{align}
$$
实际使用时，可以使用向后差分，也可以使用向前差分：
$$
\begin{align}
\nabla f(x,y) & = {\delta f\over\delta x}+ {\delta f\over\delta y} \\
& = - 2{f(x, y) + f(x -1, y)} + f(x , y - 1)
\end{align}
$$
也有人叫它导数，我觉得差分更能体现离散型。不过，大家明白意思就好。
拉普拉斯滤波
差分和导数类似，可以反映变化的快慢。对灰度不同的两个像素进行差分，得到的值就是两个像素的过渡急缓。而过度急剧的地方，往往就是图像中物体的边缘，因此我们认为：一阶差分可以检测边缘存在的可能性。这是一阶差分在这里的实际意义。
那么如果是二阶差分呢？在物理学中，对于位移$\vec{x}$和时间$t$，一阶导数表示速度，二阶差分表示速度的导数加速度。同样的，在图像处理上，一阶差分表示相邻像素的过渡急缓，二阶差分就表示这种过度急缓的变化强弱，可能你还是不明白，没关系，我们会在下面进一步解释。
如果一阶差分就能检测边缘，我们为什么还要二阶差分呢？
我们看下面的图：
这是一张从白到黑均匀渐变的图案，如果交给一阶差分来从上往下分析，会发现差分值一直都存在。于是一阶差分滤波器告诉你：这里全是边缘。但是这和我们的常识是不符的，因为虽然灰度变化了，但是变化的趋势却是均匀的。那么怎么样才能正确判断这是不是边缘呢？聪明的你应该想到了，用二阶差分来看，差分值一直是 0，说明变化是十分均匀的，说明边缘并不存在。因此，二阶差分才是真能确定边缘的存在性。
现在知道了它的作用，我们怎么计算二阶差分呢？显然的，对一阶差分再算一次差分就行了，具体的操作我们在上一节的表格里列过，用数学语言表达，对于 $x$ 的二阶偏差分就是：
$$
\begin{align}
\frac{\partial^2f}{\partial x ^2} & =\frac{\partial f'(x)}{dx^2}=f'(x+1)-f'(x)\\
& =f((x+1)+1)-f((x+1))-(f(x+1)-f(x))\\
& =f(x+2)-f(x+1)-f(x+1)+f(x) \\
& =f(x+2)-2f(x+1)+f(x)
\end{align}
$$
令 $x=x-1$ 得：
$$
\frac{\partial^2f}{\partial x ^2}=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)
$$
同理得到对$y$ 的二阶差分。故有：
$$
\frac{\partial^2f}{\partial x ^2}=f(x+1,y)+f(x-1,y)-2f(x,y)\\
\frac{\partial^2f}{\partial y ^2}=f(x,y+1)+f(x,y-1)-2f(x,y)
$$
综合可得：
$$
\begin{align}
\Delta^2 f(x,y) & = \frac{\partial^2f}{\partial x ^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y ^2} \\
&=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)
\end{align}
$$
这个东西就是拉普拉斯掩膜重心系数，简称拉普拉斯算子，以窗口(窗口的概念，见高斯滤波原理章节)中心元素为坐标原点，将窗口中各个元素带入，即可得到窗口的权重模板，也称核(Kernel)。
一个 8 邻域的窗口核如下：
$$
k = \left[
\begin{matrix}
-1 & -1 & -1 \\
-1 & 8 & -1 \\
-1 & -1 & -1 \\
\end{matrix}
\right]
$$
以此核进行滤波，即可对图像进行锐化。(提醒：结果中有负值部分，记得进行归一化，以免造成缺失)
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