最大公约数简便算法_三种求最大公约数的方法

一、辗转相除法

原理：

辗转相除法， 又名欧几里德算法(Euclidean algorithm)乃求两个正整数之最大公因子的算法。

原理

设两数为a、b(b

第一步：令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc

第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步：可以断定m-kn与n互质【否则，可设m-kn=xd，n=yd，(d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

证毕。

图示：

辗转相除法：以大数除以小数，如果能整除，那么小数就是所求的最大公约数(Greatest CommonDivisor：gcd)。否则就用余数来除刚才的除数；

再用这新除法的余数去除刚才的余数。依此类推，直到一个除法能够整除，这时作为除数的数就是所求的最大公约数。即：gcd(x,y)表示x与y的

最大公约数，有gcd(x,y)=gcd(y,x%y)，如此便可把原问题转化为求两个更小数的公约数，直到其中一个数为0，剩下的另外一个数就是两者的最

大公约数。

代码：

1 #include

2 #include

3 #include

4 #include

5 #include

6 #include

7 #include

8 using namespacestd;9 int gcd(int a,intb)10 {11 //不需要特判a与b的大小，如果a小于b，那么递归一次gcd两者就会交换值

12 return b?gcd(b,a%b):a;13 }14 intmain()15 {16 printf("%d\n",gcd(2,4));17 }

二、更相减损法

原理：

更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

翻译成现代语言如下：

第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。

图示：

此算法简单来说是：将a和b减， 得到的差值赋值给c，并判断是否为0，如果不为0，则将b赋值给a，将c赋值给a， 然后重复上述步骤直到c为0。a-b=c，算法直观来看就是这个数学算式的左移操作，和辗转相除法实现方式很是接近，应该本源思路是一样的。

代码：

1 #include

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4 #include

5 #include

6 #include

7 #include

8 using namespacestd;9 int gcd(int a,intb)10 {11 int c = 0;12 if(a

15 {16 b =c;17 a>b ? c = a - b : c = b -a;18 a =b;19 } while (c != 0);20 returnb;21 }22 intmain()23 {24 printf("%d\n",gcd(2,4));25 }

三、穷举法

找到两个数中那个小的，然后从它开始for循环，如果有满足的就输出然后break，否则就让这个值减去一再进行判断

代码：

1 #include

2 #include

3 #include

4 #include

5 #include

6 #include

7 #include

8 using namespacestd;9 int gcd(int a,intb)10 {11 for(int i=min(a,b);i>=1;--i)12 {13 if(a%i==0 && b%i==0) returni;14 }15 }16 intmain()17 {18 printf("%d\n",gcd(2,4));19 }