51Nod1190 最小公倍数之和 V2

最新推荐文章于 2021-11-13 15:03:19 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Extended-Ash/p/9477084.html

本文介绍了一种使用繁衍反演的方法来解决特定数学问题：求解Σlcm(i,b)(a≤i≤b)的计算过程。通过巧妙的数学变换和差分操作，并结合高效的代码实现，最终得出了解决方案。

题目看这里

繁衍反演真好玩

来看看这个题的式子

求Σlcm(i,b) (a<=i<=b)

首先不难发现以下这样的变换

让后做一下差分就得到答案，注意这题比较卡时间，需要比较好的优化

#pragma GCC opitmize("O3")
#pragma G++ opitmize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define N 40010
#define LL long long
#define M 1000000007
using namespace std;
bool vis[N];
int t,w[N],n;
inline LL F(LL i,int m){ return (i+i*m)*m>>1; }
inline void rd(int& x){
    char c=getchar(); x=0;
    for(;c>='0' && c<='9';c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);
}
inline void out(int x){
    char c[10]; int j=0;
    for(;x;x/=10) c[++j]=x%10;
    for(;j;--j) putchar(c[j]^48); putchar('\n');
}
int init(){
    n=40000;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!vis[i]) w[++t]=i;
        for(int j=1,k;j<=t&&(k=i*w[j])<=n;++j){
            vis[k]=1;
            if(i%w[j]==0) break; 
        }
    }
}
int p[210],k[210],cnt;
struct D{ int d,mu; } d[10000];
inline bool c1(D x,D y){ return x.d<y.d; }
inline void dfs(int i,int S,int m){
    if(i>t){ d[++cnt]=(D){S,m}; return; }
    dfs(i+1,S,m);
    dfs(i+1,S*=p[i],-m);
    for(int j=2;j<=k[i];++j)
        dfs(i+1,S*=p[i],0);
}
inline LL cal(int m,int n){
    int x=n; t=cnt=0; LL ans=0;
    for(int i=1;w[i]*w[i]<=n;++i)
        if(x%w[i]==0){
            p[++t]=w[i]; k[t]=0;
            for(;x%w[i]==0;x/=w[i]) ++k[t];
        }
    if(x>1) p[++t]=x,k[t]=1;
    dfs(1,1,1); LL k;
    sort(d+1,d+1+cnt,c1);
    for(int i=1;i<=cnt;++i) if(d[i].mu)
        for(int j=1;(k=(LL)d[i].d*d[j].d)<=n&&j<=cnt;++j)
            if(n%k==0)
            ans=(ans+(d[i].mu>0?(F(d[i].d,n/k)-F(d[i].d,m/k)):(F(d[i].d,m/k)-F(d[i].d,n/k))))%M;
    return (ans+M)%M;
}        
int main(){
    init(); int T; rd(T);
    for(int n,m;T--;out(cal(m-1,n)*n%M)) rd(m),rd(n);
}