算法第三章上机实践报告

1、实践题目：数字三角形

2、问题描述：给定一个由 n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形 的顶至底的一条路径(每一步可沿左斜线向下或右斜线向下)，使该路径经过的数字总和最大。

 

输入格式:

输入有n+1行：

第 1 行是数字三角形的行数 n，1<=n<=100。

接下来 n行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0..99 之间。

输出格式:

输出最大路径的值。

 

3、算法描述

 1 int main(){
 2     int a[120][120] , m[120][120] ;
 3     int n ,i,j;                //i表示输入数组的行数、j表示输入数组的列数
 4     cin >> n ;
 5     for(i = 1 ; i <= n ; i ++){
 6         for(j = 1 ; j <= i ; j ++){
 7             cin >> a[i][j] ;
 8         }
 9     }
10     for(i = 1 ; i <= n ; i ++){
11         m[n][i] = a[n][i] ;    //自底向上计算最优路径
12     }
13     for(i = n ; i > 1 ; i --){         //自底向上
14         for(j = 1 ; j <= i ; j ++){    //从左往右
15             if(m[i][j] > m[i][j+1]){   //从两个元素保存的最佳路径中挑选当前最佳路径
16                 m[i-1][j] = a[i-1][j] + m[i][j] ;   
17         }else{
18             m[i-1][j] = a[i-1][j] + m[i][j+1] ;
19         } 
20     }
21 }
22     cout << m[1][1] ;       //m[1][1]即为最终最佳路径
23     return 0 ;
24 }

采用自底向上填表来计算最优路径：

　　因为从数字三角形的最后一行开始考虑可以包括到所有的情况

　　除了最后一行的元素，每个元素保存的y当前最佳路径值等于自身数字加上下面一行对应左右两个元素当中最佳路径的较大那个，这样逐步推上去就可以获得整个三角形的最佳路径值

4、算法时间与空间复杂度分析：

　　每次填表都要进行一次比较加一次加法操作，每次填充表的下三角的元素，故时间复杂度为O（n^2）

由于开辟了新的辅助空间——数组m[n][n]，故空间复杂度为O（n^2）

5、心得体会

　　由于一开始对动态规划的做法还没有太熟悉，思路一直都是自顶往下进行填表，但也因此写不下去。用递归方法时间复杂度太高，重新思考了动态规划的步骤之后，发现用自底向上的方法可以用低的时间复杂度成功解题。从这一题我们也更加掌握了动态规划算法。　　要思考的是：如何把问题分解成子问题、子问题有哪些已重复计算的部分、如何列出递推公式、采用自底向上的方法还是自顶向下的方法，边界值或初始值如何得出，最后综合写出代码即可。

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