USACO2.3.2 Cow Pedigrees 奶牛家谱（DP)

最新推荐文章于 2024-10-21 19:32:19 发布

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文章标签：数据结构与算法

原文链接：http://www.cnblogs.com/bestsort/p/10588830.html

本文探讨了在一个特殊的二叉树模型下，如何计算符合特定节点数和高度限制的不同家谱树的数量。通过使用动态规划的方法，我们能够有效地解决这个问题，并提供了一个具体的AC代码实现，展示了状态转移方程和滚动数组的使用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description
农民约翰准备购买一群新奶牛。在这个新的奶牛群中, 每一个母亲奶牛都生两小奶牛。这些奶牛间的关系可以用二叉树来表示。这些二叉树总共有N个节点(3 <= N < 200)。这些二叉树有如下性质: 每一个节点的度是0或2。度是这个节点的孩子的数目。树的高度等于K(1 < K < 100)。高度是从根到任何叶子的最长的路径上的节点的数目; 叶子是指没有孩子的节点。有多少不同的家谱结构? 如果一个家谱的树结构不同于另一个的, 那么这两个家谱就是不同的。输出可能的家谱树的个数除以9901的余数。

Input
第1行: 两个空格分开的整数, N和K。

Output
第 1 行: 一个整数，表示可能的家谱树的个数除以9901的余数。

Sample Input
5 3
Sample Output
2

OUTPUT DETAILS:
有5个节点，高为3的两个不同的家谱：

层数	第一种	第二种
1	根节点	根节点
2	左节点数1右节点数1	左节点数1右节点数1
3	左节点数2右节点数1	左节点数1右节点数2

已知整个树的节点必定为 $2 n - 1$ （每一个母亲奶牛都生两小奶牛），去掉根节点就是 $2 n$ ，现在设整棵树共 $n$ 个节点，由 $x$ 个左子树构成，那么右子树个数就为 $n - 1 - x$ 个，设 $d p [i] [j]$ 表示深度为 $i$ 最多用 $j$ 个点组成的二叉树的个数，则状态转移方程 $d p [i] [j] = d p [i] [j] + d p [i - 1] [l] * d p [i - 1] [r]$ ，表示深度为 $i$ 节点为 $j$ 的树能由深度为 $i - 1$ 节点数之和为 $j - 1$ 的树组成（在两颗树的根节点上再加一个根节点连接深度就 $+ 1$ 了）其中 $l$ , $r$ 为左右子树个数，满足 $r + l = n - 1$ 且 $l$ 和 $r$ 一定为奇数（二叉树性质）。

AC代码
我这里用2个一维数组滚动求的值，因为对于深度为 $x$ 的树只需要知道深度为 $x - 1$ 的所有情况即可，最后相减便是答案，需要注意的是相减求模得先加要模的值，防止相减为负数的这种情况

#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <algorithm>
#define _mem(a,b) memset(a,0,(b+3)<<2)

using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int inf = 0x3f;
const double EPS = 1e-7;
const double Pi = acos(-1);
const int MOD = 9901;
const int maxn =  2*1e2+9;

int dp[maxn];
int res[maxn];
int main() {
    int a,b;
    cin >> a >> b;
    res[1] = 1;             ///这里res为第一层，dp数组是从第二层开始的所以循环-1
    for(int i=1;i<=b-1;i++){    
        _mem(dp,a);        ///dp数组初始化为0
        dp[1] = 1;
        for(int j=3;j<=a;j+=2)
            for(int k=1;k<=j-2;k+=2)
                dp[j] = (dp[j]+res[k]*res[j-1-k])%MOD;  ///递推式
        if(i!=b-1)
            memcpy(res,dp,(a+3)<<2);    ///滚动，数组拷贝
    }
    cout << (dp[a]-res[a]+MOD)%MOD << endl;
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/bestsort/p/10588830.html