【Cf Edu #47 G】Allowed Letters

最新推荐文章于 2024-06-27 18:52:49 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Dance-Of-Faith/p/9320822.html

本文探讨了在特定字符限制下构建最小字典序字符串的贪心算法，通过网络流模型理解和验证解的存在性，最终提出了一个高效简洁的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这个题大概就是每一个位置都有一个能填字符的限制（一个点集），给出已有的$n$个字符，问能填出的最小字典序的字符串。

总体思路是贪心，每一位尽量选最小的字符。

关键在于判断在某位选了一个字符后，接下来的位置能否满足限制。

考虑怎么判断有解，这里有一种网络流的思路：

有$6$个点，代表了$a - f$$6$个字符，有源点向这些点连边，流量为该字符的个数。
另有$2^{6}$个点，代表了各个点集，这些点向汇点连边，流量为该点集在所有限制中出现的次数。
如果某个点在一个点集中，则由该点向该点集连流量为$INF$的边。

易得，当流量满流时，有合法解。

当然，用网络流这个模型虽然很容易理解，但如果每一次检验都跑一边的话效率不行，出题人有一种基于调整法的网络流做法，在已知流网络上进行修改，但是我不是很懂，代码也较长，在此不做累述。

此处所用的做法十分简洁。有以下结论：

接下来仅考虑某位置选了某个字符后，判断剩下的一个后缀是否有解。
定义$cnt_{i}$表示字符$i$的剩余数量，$num_{s}$表示与集合$s$有交的位置（该位置上限制的字符集与$s$有交）。
枚举$2^{6}$个集合，当所有的集合都准合法时才有解。
准合法的定义是：$\sum_{i = a}^{f} (其中 i \in s) <= num_{s}$。

显然，如果$|s|=1$，即$s$中只有一个字符，那$s$准合法就是$s$合法（存在合法解）。

这里用于说明$s$是合法的当且仅当所有$s$的子集是合法的，且$s$是准合法的。

由于我们从小到大枚举所有集合，可以保证所有之前已经枚举过的集合已经合法了，即它的子集都合法，故只要判断该集合是否准合法。

关于这个条件的必要性：

如果$s$不是准合法的，显然$s$不会是合法的，因为没有足够位置放。
如果$s$的某一个子集$s_{i}$不合法，也就是$s_{i}$的有关位置$num_{s_{i}}$不够调计，那在$s$的有关位置$num_{s}$中并不会有更多的供$s_{i}$中的字符放置的位置，那$s$也将是不合法的。

关于这个条件的充分性：

如果所有它的子集都合法了，并且$s$准合法，就不会存在某一个集合中的元素占用了过多的公共位置，因为那样会导致另一个子集不合法，即产生矛盾。

这样的话就能在$O(nA2^{A})$解决问题了，其中$A$是字符集大小。

$\bigodot$技巧与套路：

利用网络流的模型
集合的枚举以及使用

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <algorithm>
 4 
 5 const int N = 100005, ST = 63;
 6 
 7 int n, m, bit[N], ans[N], cnt[7], num[ST + 2][N];
 8 char s[N], ssr[9];
 9 
10 inline int Check(int x) {
11     for (int st = 0; st <= ST; ++st) {
12         int cnum = 0;
13         for (int i = 0; i < 6; ++i) {
14             if ((st >> i) & 1) cnum += cnt[i];
15         }
16         if (num[st][n] - num[st][x] < cnum) return 0;
17     }
18     return 1;
19 }
20 
21 int main() {
22     scanf("%s%d", s + 1, &m);
23     n = strlen(s + 1);
24     for (int i = 1; i <= n; ++i) {
25         bit[i] = ST; ans[i] = -1;
26         ++cnt[s[i] - 'a'];
27     }
28     for (int i = 1, x; i <= m; ++i) {
29         scanf("%d%s", &x, ssr);
30         int le = strlen(ssr), st = 0;
31         for (int j = 0; j < le; ++j) {
32             st |= 1 << (ssr[j] - 'a');
33         }
34         bit[x] &= st;
35     }
36     
37     for (int st = 0; st <= ST; ++st) {
38         for (int i = 1; i <= n; ++i) {
39             num[st][i] = num[st][i - 1] + (bool)(bit[i] & st);
40         }
41     }
42     
43     for (int i = 1; i <= n; ++i) {
44         for (int j = 0; j < 6; ++j) {
45             --cnt[j];
46             if (((bit[i] >> j) & 1) && Check(i)) {
47                 ans[i] = j; break;
48             }
49             ++cnt[j];
50         }
51         if (ans[i] == -1) {
52             puts("Impossible");
53             return 0;
54         }
55     }
56     for (int i = 1; i <= n; ++i) {
57         putchar(ans[i] + 'a');
58     }
59     
60     return 0;
61 }

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