拉格朗日乘数--拉格朗日极值定理 --（转子wiki）

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本文介绍了拉格朗日乘数法的基本原理及其在寻找受约束条件限制的多元函数极值问题中的应用。通过引入拉格朗日乘数，将原始问题转化为无约束极值问题，进而简化了解题过程。文中详细解释了如何构建拉格朗日方程，求解乘数，并最终找到目标函数的极值点。

在数学最优化问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个矢量的系数。

简单举例：

求 $c02a5e2bffddcbccbdf15abc89a7ab92.png$ 的极值

条件 $7cf653401640e24302a35cc22592fd29.png$

引入新变量拉格朗日乘数 $e05a30d96800384dd38b22851322a6b5.png$ ，即可求解下列拉格朗日方程

$ea33fbd9e8f699bed042c1f16a29dc88.png$

此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。

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介绍

图1：绿线标出的是约束 g( x, y) = c的点的轨迹。蓝线是 f的等高线。箭头表示斜率，和等高线的法线平行。

先看一个二维的例子：假设有函数：f(x,y)，要求其极值（最大值/最小值），且

$ea16f3377b57b41f8c1cfae6ed081524.png$

c 为常数。对不同 $05a595160436dae94b5be4cad095ddb9.png$ 的值，不难想像出

$75a30492a7ce7dca37516f4a75bea670.png$

的等高线。而方程 $b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.png$ 的等高线正好是。想像我们沿着的等高线走；因为大部分情况下 $8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png$ 和 $b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.png$ 的等高线不会重合，但在有解的情况下，这两条线会相交。想像此时我们移动上的点，因为 $8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png$ 是连续的方程，我们因此能走到 $75a30492a7ce7dca37516f4a75bea670.png$ 更高或更低的等高线上，也就是说 $05a595160436dae94b5be4cad095ddb9.png$ 可以变大或变小。只有当和 $75a30492a7ce7dca37516f4a75bea670.png$ 相切，也就是说，此时，我们正同时沿着和 $75a30492a7ce7dca37516f4a75bea670.png$ 走。这种情况下，会出现极值或鞍点。

气象图中就很常出现这样的例子，当温度和气压两列等高线同时出现的时候，切点就意味着约束极值的存在。

用矢量的形式来表达的话，我们说相切的性质在此意味着 $8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png$ 和 $b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.png$ 的斜率在某点上平行。此时引入一个未知标量λ，并求解：

$406f930f4470f6f4e060122ab562d343.png$

且λ ≠ 0.

一旦求出λ的值，将其套入下式，易求在无约束极值和极值所对应的点。

$3c4f3ad9a0cc33b95bc5ffdc6b4c0959.png$ = $0217b855aca1ea2f3531abf85eee6800.png$

新方程在达到极值时与相等，因为达到极值时总等于零。

很简单的例子

求此方程的最大值：

同时未知数满足

因为只有一个未知数的限制条件，我们只需要用一个乘数 $e05a30d96800384dd38b22851322a6b5.png$ .

将所有 $571286850423e91db6d2802a4857bf03.png$ 方程的偏微分设为零，得到一个方程组，最大值是以下方程组的解中的一个：

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E4%B9%98%E6%95%B0

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