【BZOJ4518】[Sdoi2016]征途斜率优化

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本文提供BZOJ4518[Sdoi2016]征途问题的解决思路，该问题要求求解旅行者Pine在限定时间内完成旅程并使行程方差最小的算法实现。文章通过动态规划与斜率优化的方法详细阐述了解决方案。

【BZOJ4518】[Sdoi2016]征途

Description

Pine开始了从S地到T地的征途。

从S地到T地的路可以划分成n段，相邻两段路的分界点设有休息站。

Pine计划用m天到达T地。除第m天外，每一天晚上Pine都必须在休息站过夜。所以，一段路必须在同一天中走完。

Pine希望每一天走的路长度尽可能相近，所以他希望每一天走的路的长度的方差尽可能小。

帮助Pine求出最小方差是多少。

设方差是v，可以证明，v×m^2是一个整数。为了避免精度误差，输出结果时输出v×m^2。

Input

第一行两个数 n、m。

第二行 n 个数，表示 n 段路的长度

Output

一个数，最小方差乘以 m^2 后的值

Sample Input

5 2
1 2 5 8 6

Sample Output

HINT

1≤n≤3000,保证从 S 到 T 的总路程不超过 30000

题解：我承认自己写丑了~又一次体会到了二维斜率优化的巨大宽度的恐惧~

想看详细的DP推导过程和一维的斜率优化请见神犇的博客

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
int q[4010][3010],h[3010],t[3010];
ll f[30010][3010],v[3010],s[3010];
ll p;
ll y(int i,int j)
{
    return f[i][j]+s[i]*s[i]+2*p*s[i];
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++)    scanf("%lld",&v[i]),s[i]=s[i-1]+v[i]*m;
    p=s[n]/(ll)m;
    for(i=1;i<=m;i++)    h[i]=1,t[i]=0,q[1][i]=0;
    h[0]=t[0]=1,q[1][0]=0;
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[0][0]=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=min(i,m);j>=1;j--)
        {
            while(h[j-1]<t[j-1]&&
                y(q[h[j-1]+1][j-1],j-1)-y(q[h[j-1]][j-1],j-1)<=
                2*s[i]*(s[q[h[j-1]+1][j-1]]-s[q[h[j-1]][j-1]])) h[j-1]++;
            f[i][j]=f[q[h[j-1]][j-1]][j-1]+(s[i]-s[q[h[j-1]][j-1]]-p)*(s[i]-s[q[h[j-1]][j-1]]-p);
            while(h[j]<t[j]&&
                (y(q[t[j]][j],j)-y(q[t[j]-1][j],j))*(s[i]-s[q[t[j]][j]])>=
                (y(i,j)-y(q[t[j]][j],j))*(s[q[t[j]][j]]-s[q[t[j]-1][j]]))   t[j]--;
            q[++t[j]][j]=i;
        }
    }
    printf("%lld",f[n][m]/m);
    return 0;
}

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