bzoj1076 奖励关期望dp

最新推荐文章于 2019-01-08 08:36:31 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/mountaink/p/9978535.html

本文解析了一个关于游戏奖励关的策略问题，通过状态压缩DP算法求解最优期望得分。问题涉及宝物收集，每种宝物有其价值及获取限制，玩家需在有限次机会中选择吃或不吃宝物以最大化得分。

题目传送门

　　题目大意：总共有k次弹出宝物的机会，宝物共有n种，弹出不同的宝物的概率相同的，是每个宝物都有价值，和选择这个宝物的限制（必须具有特定的宝物），问最后的最优期望是多少。

　　思路：“正向推概率，反向推期望。”，一看数据范围就知道肯定是状压。

　　这里推荐一个大佬的博客 https://blog.youkuaiyun.com/nameofcsdn/article/details/52082746

　　考虑f[ i ][ j ]，j为二进制数，表示在第i个格子之前具有了 j 的状态，那在这个格子，对于每一个物体，有能吃和不能吃两种情况。（用（ j | t）==j 来判断j是否包含了t）。

　　对于能吃情况（即满足限制条件），那我可以选择吃或者不吃，由于我已经算出了第i+1层的所有期望，所以我只要选择吃和不吃里的最大值就可以了，由于这个格子弹出的物品总共有n种情况，所以要记得概率要除以n。

　　　　　　f[i][j]+=max(f[i+1][j],f[i+1][j|(1<<(x-1))]+w[x])/n;//每一个x都对应1/n的情况，每个i，j都有两个方向，即这个东西吃还是不吃

　　对于不能吃的情况，只能选择不吃。

　　　　　　f[i][j]+=f[i+1][j]/n;//只有一个方向

　　所以这样dp结束后，f[ 1 ][ 0 ]就是我们要的答案。

　　为什么期望要倒着做呢，第一，正着做wa了。。。第二，倒着做保证了dp时全是合法的情况。

#include<bits/stdc++.h>
#define CLR(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
double dp[110][50000],f[110][50000],w[20];
int t[20];
int k,n;
int main(){
    cin>>k>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lf",&w[i]);
        int x;
        while(scanf("%d",&x),x){
            t[i]|=(1<<(x-1));
        }
    }
    for(int i=k;i>0;i--)
    {
        for(int j=0;j<(1<<n);j++)
        {
            for (int x=1;x<=n;x++)
            {
                if((j|t[x])==j)f[i][j]+=max(f[i+1][j],f[i+1][j|(1<<(x-1))]+w[x])/n;//每一个x都对应1/n的情况，每个i，j都有两个方向，即这个东西吃还是不吃 
                else f[i][j]+=f[i+1][j]/n;//只有一个方向 
            }
        }
    }
    printf("%.6f\n",f[1][0]);
}

1076: [SCOI2008]奖励关

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 3830 Solved: 2071
[Submit][Status][Discuss]

Description

　　你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，
每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。
宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1次系统都抛出宝物1（
这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。获取第i种宝物将得到Pi
分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过
一次，才能吃第i种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi可
以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。假设你
采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？