Codeforces - 702A - Maximum Increase - 简单dp

最新推荐文章于 2020-12-23 22:32:38 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/Yinku/p/10278063.html

本文分享了一名程序员在深入学习动态规划（DP）算法过程中的心得与体会，详细记录了从初学者到熟练掌握DP算法的实践路径。文章首先介绍了DP算法的基础概念，随后通过CodeForces平台上的经典题目进行实战演练，特别剖析了最长上升子序列（LIS）问题的两种复杂度算法实现，并附上了完整的C++代码示例。作者还强调了在解决问题过程中遇到的常见误区，例如将子串问题误认为子序列问题，以此提醒读者在面对实际问题时要仔细区分。文章最后鼓励读者通过大量练习来巩固和提升自己的算法水平。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

DP的学习计划，刷 https://codeforces.com/problemset?order=BY_RATING_ASC&tags=dp

遇到了这道题 https://codeforces.com/problemset/problem/702/A

以为是最长上升子序列（Longest Increasomg Subsequence）的模板题，发现自己不会做

记录一下大概的思路：

$O(n^2)$ 的算法：

$L[i]$ 选择 $A[i]$ 为结尾的LIS的长度
$P[i]$ 选择 $A[i]$ 为结尾的LIS的倒数第二个元素的Position（可以用来复现整个LIS）
临时变量 $k$ ，表示 $A[i]$ 计算时找到的前面最长的LIS的位置
对于每个 $A[i]$ ，遍历它前面的每个 $A[j]$ ，记录所有满足 $A[j]<A[i]$ （可以把 $A[i]$ 接在后面）且 $L[j]>L[k]$ （更长的子序列）
$L[i]=L[k]+1$
$P[i]=k$

$O(nlogn)$ 的算法：

$L[i]$ 长度为$i+1$ 的IS的末位元素的最小值
$length$ 前 $i$ 个元素构成的LIS的长度
升序遍历 $i$，故 $length$ 非降，而且构造的过程中 $L$ 数组是递增的
如果 $L[length-1]<A[i]$ （ $A[i]$ 可以接在当前最长的（长度为 $length$ 的）LIS后面），则 $L[length++]=A[i]$
否则在已确定的 $L[0]~L[length]$ 中（长度为 $1$ 到 $length$ 闭区间的LIS的最末元素）二分找到能更新的位置并更新 $*lower\_bound(L,L+length,A[i])=A[i]$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

int A[100005];
int L[100005];

int lis(){
    L[0]=A[0];
    int length=1;
    for(int i=1;i<n;i++){
        if(L[length-1]<A[i]){
            L[length++]=A[i];
        }
        else{
            *lower_bound(L,L+length,A[i])=A[i];
            //1 7 2 5，已有序列1 7，lower_bound(2)得到7，可以把长度为2的LIS的末尾换成2
        }
    }
    return length;
}

int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&A[i]);
    }
    printf("%d\n",lis());

}