HNOI2008 玩具装箱TOY

最新推荐文章于 2021-07-21 19:41:25 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/12mango/p/7745089.html

本文介绍了一个使用斜率优化动态规划方法解决玩具运输问题的实例。问题要求将一系列压缩后的玩具分配到特殊的一维容器中，使得总成本最小。通过定义状态和转移方程，采用斜率优化技巧，将原始的O(n^2)复杂度降低至更高效的算法。

题目描述

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

输入输出格式

输入格式：
第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

输出格式：
输出最小费用

输入输出样例

输入样例#1：
5 4
3
4
2
1
4
输出样例#1：
1

题目

芒果君：搞了一天的斜率优化QAQ 心累

这道题如果你看成划分DP还是挺简单的，设前缀和为sum，则转移方程为

$f[i]=f[j]+( sum[i]-sum[j]+i-j-1-L)^2\qquad(j<i)$

然而n方的时间复杂度我们实在是接受不了呢。于是，为了快速跳过那些没用的状态，就加一个玄学的斜率优化。如果当前状态f[i]是由f[j]继承而来，则不知道从哪来的k没有j优，也就是说

$f\left[j\right]+\left( sum\left[i\right]-sum\left[j\right]+i-j-1-L\right)^2 \leq f\left[k\right]+\left( sum\left[i\right]-sum\left[k\right]+i-k-1-L\right)^2$

然后我们设T[i]=sum[i]+i，G[i]=T[i]+L+1，替换一下上面的公式（我懒得打了），最后移项得

$\dfrac{f\left[j\right]+G\left[j\right]^2-\left(f\left[k\right]+G\left[k\right]^2\right)}{2\left(G\left[j\right]-G\left[k\right]\right)} \leq T\left[i\right]$

上式可以验证哪个状态更优，然后我们用单调队列来维护，它的队首最优，继承给当前f[i]，其实将式子推出来就没有太大的难点了，关键是方法。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cmath>
 4 #include<iostream>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<cstdlib>
 7 #include<vector>
 8 #include<queue>
 9 #include<stack>
10 #define ll long long
11 #define maxn 50010
12 using namespace std;
13 int n,L,q[maxn],head,tail;
14 ll sum[maxn],f[maxn],T[maxn],G[maxn];
15 ll read()
16 {
17     ll ret(0);
18     char ch=getchar();
19     while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
20     while(ch>='0'&&ch<='9'){
21         ret=ret*10+ch-'0';
22         ch=getchar();
23     }
24     return ret;
25 }
26 inline ll p(ll x){return x*x;}
27 inline ll calf(ll x,ll y){return f[y]+p(T[x]-G[y]);}
28 inline ll calu(ll x,ll y){return f[x]+p(G[x])-(f[y]+p(G[y]));}
29 inline ll cald(ll x,ll y){return (G[x]-G[y])<<1;}
30 int main()
31 {
32     scanf("%d%d",&n,&L);
33     for(int i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+read(),f[i]=1ll<<62;
34     for(int i=0;i<=n;++i) T[i]=sum[i]+i,G[i]=T[i]+L+1;
35     q[tail++]=f[0]=0;
36     for(int i=1;i<=n;++i){
37         while((tail-head>1)&&calu(q[head+1],q[head])<=T[i]*cald(q[head+1],q[head])) head++;
38         f[i]=calf(i,q[head]);
39         while((tail-head>1)&&calu(i,q[tail-1])*cald(q[tail-1],q[tail-2])<=cald(i,q[tail-1])*calu(q[tail-1],q[tail-2])) tail--;
40         q[tail++]=i;
41     }
42     printf("%lld\n",f[n]);
43     return 0;
44 }