HDU 5667 Sequence 矩阵快速幂

官方题解：

观察递推式我们可以发现，所有的fi​​都是a的幂次，所以我们可以对f​i​​取一个以a为底的log，g​i​​=log​a​​ f​i​​

那么递推式变g​i​​=b+c∗g​i−1​​+g​i−2​​,这个式子可以矩阵乘法

这题有一个小trick，注意a mod p=0的情况.

分析：排除了a mod p=0的情况，幂次可以对（p-1)取模，这是由于离散对数定理

         相关定理请查阅 算导

吐槽：比赛的时候就是被a mod p=0这种情况给hack掉了，我太弱了

 

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <string>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=1e5+5;
LL p,a,b,c,n;
struct asd{
   LL c[4][4];
};
asd mul(asd a,asd b){
    asd d;
    for(int i=1;i<=3;++i){
      for(int j=1;j<=3;++j){
        d.c[i][j]=0;
        for(int k=1;k<=3;++k)
          d.c[i][j]=(d.c[i][j]+a.c[i][k]*b.c[k][j]%(p-1))%(p-1);
      }  
    }
    return d;   
}
asd fun(LL m){
    asd a,e;
    for(int i=1;i<=3;++i)
     for(int j=1;j<=3;++j)
       a.c[i][j]=e.c[i][j]=0; 
    a.c[1][1]=c;
    a.c[1][2]=1;
    a.c[1][3]=b;
    a.c[2][1]=1;
    a.c[3][3]=1;
    e.c[1][1]=e.c[2][2]=e.c[3][3]=1;
    while(m){
        if(m&1)e=mul(e,a);
        m>>=1;
        a=mul(a,a);
    }
    return e;   
}
LL fun2(LL a,LL x){
    LL res=1;
    while(x){
        if(x&1)res=(res*a)%p;
        x>>=1;
        a=(a*a)%p;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
      scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&n,&a,&b,&c,&p);
      if(n==1){
        printf("1\n");
        continue;
      }
      if(n==2){
         printf("%I64d\n",fun2(a,b));
         continue;
      }
      if(a%p==0){
        printf("0\n");
        continue;
     }
      asd t=fun(n-2);
      LL x=0;
      x=(x+t.c[1][1]*b%(p-1))%(p-1);
      x=(x+t.c[1][3])%(p-1);
      printf("%I64d\n",fun2(a,x));
    }
    return 0;
}

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