HDU 5667 Sequence 【矩阵快速幂】

最新推荐文章于 2022-08-12 15:32:06 发布

小猫ai吃鱼

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Jane_JXR/article/details/70147360

本文介绍了一种使用矩阵快速幂解决特定类型的递推问题的方法。通过构造特定矩阵并运用快速幂运算，可以高效地计算出给定递推关系中任意项的值。适用于解决形式如 f(n) = a^b * f(n-1)^c * f(n-2) 的递推问题。

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5667

题目分析：对于这种递推关系，已知n,a,b,c,p求f(n);

重点在于如何找出递推关系，构造矩阵：
f(n)=a^b*f(n-1)^c*f(n-2),对于这种矩阵，我们不可能直接找关系，写出几个之后，（把a^b看成一个变量）我们可以发现指数之间的递推关系，f(n)=c*f(n-1)+f(n-2)+1;同样的套路，这就比上面看着简单多了，可以直接构造出矩阵：       f(1)=1,f(2)=c+1;
A:(c+1 1 1)   B: c 1 0    则：res=A*B^(n-3),其中res.mat[0][0]就是要求的指数
                   1 0 0
                         1 0 1
然后用快速幂就可以求得结果，这样就可以了......

构造矩阵：1、如果只有简单的先乘后加的关系，我们可以根据矩阵的性质直接构造出来矩阵
                 2、如果具有幂的关系，我们可以直接考虑指数，然后再用普通的快速幂（比如：

f(n)=f(n-1)*f(n-2),f(1)=a,f(2)=b,它们的指数其实就是斐波那契数，我们可以用矩阵快速幂求出斐波那契,再求a^x*b^y）

CODE：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<vector>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long LL;
const int maxn=1005;
LL n;
struct Matrix
{
    LL mat[5][5];
    Matrix()
    {
        memset(mat,0,sizeof(mat));
    }
};
Matrix Mulit(Matrix A,Matrix B,int mod)
{
    Matrix res;
    for(int i=0; i<3; i++)
    {
        for(int j=0; j<3; j++)
        {
            res.mat[i][j]=0;
            for(int k=0; k<3; k++)
                res.mat[i][j]=(res.mat[i][j]+(A.mat[i][k]*B.mat[k][j])%(mod-1))%(mod-1);
        }
    }
    return res;
}
Matrix Pow(Matrix A,LL k,LL mod)
{

    Matrix res;
    for(int i=0; i<3; i++)
        res.mat[i][i]=1;
    while(k)
    {
        if(k&1)
            res=Mulit(res,A,mod);
        A=Mulit(A,A,mod);
        k>>=1;
    }
    return res;
}
LL POW (LL x,LL k,LL mod)
{
    if(k==0)
        return 1;
    LL sum=1;
    while(k)
    {
        if(k&1)
            sum=(sum*x)%mod;
        x=(x*x)%mod;
        k>>=1;
    }
    return sum;
}
void print(Matrix kk)
{
    for(int i=0; i<3; i++)
    {
        for(int j=0; j<3; j++)
            printf("%lld ",kk.mat[i][j]);
        printf("\n");
    }
}
int main()
{
    int t;
    LL a,b,c,p;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&a,&b,&c,&p);
        LL x,y,z;
        x=POW(a,b,p);
        if(n==1)
        {
            printf("1\n");
            continue;
        }
        if(n==2)
        {
            printf("%lld\n",x%p);
            continue;
        }
        if(a%p==0)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        Matrix ans1,ans2,ans;
        ans1.mat[0][0]=c,ans1.mat[1][0]=1,ans1.mat[2][0]=1;
        ans1.mat[0][1]=1;
        ans1.mat[2][2]=1;
        ans2.mat[0][0]=c+1;
        ans2.mat[0][1]=1;
        ans2.mat[0][2]=1;
        Matrix cnt=Mulit(ans2,Pow(ans1,n-3,p),p);
        LL kkk=POW(x,cnt.mat[0][0],p);
        printf("%lld\n",kkk);
    }
    return 0;
}

刚开始写的时候不知道矩阵快速幂的哪个地方打错了，一直超时，还以为自己的思路有问题，后来重新写了一遍就A了。