3.1 普通型生成函数

最新推荐文章于 2024-09-02 16:59:42 发布

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文章标签：数据结构与算法

原文链接：http://www.cnblogs.com/astonc/p/9916159.html

本文深入探讨了母函数（生成函数）在解决组合问题中的应用，包括普通型和指数型母函数的区别，以及如何通过构造母函数解决多重集的组合与排列问题。文章提供了详细的算法实现步骤，并附带了一个具体的编程示例，展示了如何使用母函数解决字母组合的价值问题。

母函数(生成函数):

生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种。

形式上，普通型母函数用于解决多重集的组合问题，

指数型母函数用于解决多重集的排列问题。

母函数还可以解决递归数列的通项问题（例如使用母函数解决斐波那契数列，Catalan数的通项公式）。

普通母函数：

构造母函数G(x), G(x) = a0 + a1*x + a2* + a3* +....+ an*，则称G(x)是数列a0,a1…an的母函数。

通常普通母函数用来解多重集的组合问题，其思想就是构造一个函数来解决问题，一般过程如下：

1.建立模型：物品n种,每种数量分别为k1,k2,..kn个，每种物品又有一个属性值p1,p2,…pn,(如本题的字母价值)，

求属性值和为m的物品组合方法数。（若数量ki无穷也成立，即对应下面式子中第ki项的指数一直到无穷）

2.构造母函数：G(x)=(1++…)(1+++…)…(1+++…) （一）

=a0 + a1*x + a2* + a3* +....+ akk* (设kk=k1·p1+k2·p2+…kn·pn) （二）

G(x)含义： ak 为属性值和为k的组合方法数。

母函数利用的思想：

1.把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来。

2.把离散数列和幂级数对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来

确定离散数列的构造。

代码实现：

求G(x)时一项一项累乘。先令G=1=(1+0*x+0*+…0*),再令G=G*(1++…)得到形式(二)的式子…最后令G=G*(1+++…)。

模板：

const int MAX_N = 10000;
int a[MAX_N];           // 保存函数的各项系数 
int b[MAX_N];           // 中间量， 保存每一次的情况 
int NumMin[MAX_N];        //每种最少数量 
int NumMax[MAX_N];      //每种最多数量
int Val[MAX_N];         //每种的权重 
int N;                 // 种数
int P;                 // 价值上限（即目标）； 
memset(a, 0, sizeof(a));
memset(b, 0, sizeof(b));
a[0] = 1;
for (int i = 1; i <= N; i++) {  //  循环每种函数（1 + a1 x ^ p1 + a2 x ^ p2 + ......） 
        // 一般情况下NumMin 都是 0
    // 如果每种情况都可以取无限个  就可以删去 j <= NumMAX[i]  
    for (int j = NumMin[i]; j <= NumMax[i] && j * Val[i] <= P; j++)
    // 两个函数相乘  k 是被乘函数各项的指数 
        for (int k = 0; k + j * Val[i] <= P; k++)
        // k + j * Val[i] 是结果函数的指数 
            b[k + j * Val[i]] += a[k];
    for (int j = 0; j <= P; j++) {
        a[j] = b[j];
        b[j] = 0;    
    }
}

优化：

　　当数据规模特别大时，可以用一个 last 来标记目前最大的指数，这样只需要在 0 ~ last 上计算。

a[0] = 1;
int last = 0;    //因为有 last ,所以无需初始化其他位 
for (int i = 0; i < N; i++) {
    int lastnext = min(last + NumMax[i]* Val[i], P); 
    memset(b, 0, sizeof(lastnext + 1));
    for (int j = NumMin[i]; j <= NumMax[i] && j * Val[i] <= lastnext; j++)
        for (int k = 0; k + j * Val[i] <= lastnext; k++)
            b[k + j * Val[i]] += a[k];
    for (int j = 0; j <= P; j++) {
        a[j] = b[j];
        b[j] = 0;    
    }
    last = lastnext;
}

// 这种方式应该不适用于无限个的情况

例题：

Problem Description：

假设有x1个字母A， x2个字母B,..... x26个字母Z，同时假设字母A的价值为1，字母B的价值为2,..... 字母Z的价值为26。那么，对于给定的字母，可以找到多少价值<=50的单词呢？单词的价值就是组成一个单词的所有字母的价值之和，比如，单词ACM的价值是1+3+14=18，单词HDU的价值是8+4+21=33。(组成的单词与排列顺序无关，比如ACM与CMA认为是同一个单词）。

Input

输入首先是一个整数N，代表测试实例的个数。
然后包括N行数据，每行包括26个<=20的整数x1,x2,.....x26.

Output

对于每个测试实例，请输出能找到的总价值<=50的单词数,每个实例的输出占一行。

Sample Input

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

9 2 6 2 10 2 2 5 6 1 0 2 7 0 2 2 7 5 10 6 10 2 10 6 1 9

Sample Output

379297

题解：

1.建模：物品(字母)26种，每种数量x1,x2…x26，属性值为1,2,3..26,求属性值和<=50的组合方法数。

2.G(x)=(1++…)(1+++…)…(1++…)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
long long a[60],b[60];
 
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(b,0,sizeof(b));
        a[0]=1;
        int x;
        for(int i=1;i<=26;i++)
        {
            scanf("%d",&x);
            for(int j=0;j<=50;j++)
            {
                for(int k=0;k<=x&&(j+k*i<=50);k++)
                {
                    b[j+k*i]+=a[j];
                }
            }
            for(int j=0;j<=50;j++)
            {
                a[j]=b[j];
                b[j]=0;
            }
        }
        long long ans=0;
        for(int i=1;i<=50;i++)
            ans+=a[i];
        cout<<ans<<endl;
    }
}