生成函数 应用

引言

生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种，其中普通型用的比较多。形式上说，普通型生成函数用于解决多重集的组合问题，而指数型母函数用于解决多重集的排列问题。

因水平有限，此博客涉及的均是生成函数的初级应用，用于解决相关的算法竞赛题目。

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斐波那契函数的通项公式

考虑一个经典问题：
求斐波那契函数的通项。
此问题的结论了解斐波那契函数的人都知道，那就是：
$$F(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}\ast [(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n]$$

此结论初看好像在算法竞赛中没什么用，因为对于求斐波那契函数第n项的值，存在一个经典的算法，那就是矩阵快速幂。而且因浮点数存在误差，故计算机并不能精确计算出该公式的值。

但通过对此公式的深入了解和推导证明，我们将对斐波那契函数有更深的理解，并将矩阵快速幂和生成函数两个算法进行联系。

下面我们试着来推导这个公式。

首先从熟悉的矩阵快速幂来入手。

由递推关系式，可以构造矩阵：

$$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}F(n-1)\\ F(n)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}F(n)\\ F(n+1)\end{array}\right]$$

通过观察已知，这其实也是一个递推式，逐层递推易得：
$${\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]}^n\ast \left[\begin{array}{c}F(0)\\ F(1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}F(n)\\ F(n+1)\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$

假设：
$$M^n={\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]}^n$$

故问题的关键便在于如何求解$M^n$

在算法竞赛中，常用的手段是利用计算机的强大计算能力和快速幂的思想来求解。
但实际上，在数学层面还有一个更加常用的方法来求解方阵的n次方，那就是矩阵的相似对角化。
由定义：
$M=QA{Q}^{-1}$
故
$M^n=QA{Q}^{-1}\ast QA{Q}^{-1}\ast QA{Q}^{-1}\ast ....$
因：
$Q\ast Q^{-1}=E$

故推出：
$$M^n=Q{A}^n{Q}^{-1}\text{\hspace{1em}(2)}$$

下面我们便来尝试将M矩阵相似对角化：
由
$$det(M-\lambda E)=0==>\lambda =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$