UVa 11600

有一个n个点m条边的无向图，你初始在1号点，每次移动你会等概率随机选择除了你所在的点之外的某个点，如果这两个点之间还没有边则连一条边，求使整个图联通的期望步数。

$$1 \leq n \leq 30,0 \leq m \leq \frac{n(n-1)}{2}$$

先缩点，然后设$f(S)$为当前联通块中的点为$S$这个集合时使图联通的期望步数，$\text{cnt}_S$为$S$中点数，$\text{belong}_i$为$i$所属联通块，则有

$$f(S)=\frac{n-1}{n-\text{cnt}_S} + \sum_{i \notin S} \frac{1}{n-\text{cnt}_S} f(S \cup \text{belong}_i)$$

前面的式子由几何级数推出，边界是$f(V)=0$，用哈希表存状态，记搜就可以过了。（但这样过不了极限数据，比较迷。。。）

const int MAXN = 30 + 5;

struct DSU {
  int fa[MAXN];
  
  void init(int n) {
    For(i, 1, n)
      fa[i] = i;
  }
  
  int find(int x) {
    return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
  }
  
  bool same(int x, int y) {
    return find(x) == find(y);
  }
  
  void merge(int x, int y) {
    if (!same(x, y))
      fa[fa[y]] = fa[x];
  }
} U;

int bel[MAXN], linker[MAXN], n, m;

std::unordered_map < int, double > f;

double DP(int S) {
  int cnt = __builtin_popcount(S);
  if (cnt >= n)
    return 0;
  auto it = f.find(S);
  if (it != f.end())
    return it->S;
  double res = 1.0 * (n - 1) / (n - cnt);
  For(i, 1, n)
    if (!(S & (1 << i)))
      res += 1.0 * 1 / (n - cnt) * DP(S | linker[bel[i]]);
  return f[S] = res;
}

int main() {
  int _;
  scanf("%d", &_);
  For(i, 1, _) {
    memset(linker, 0, sizeof linker);
    scanf("%d%d", &n, &m);
    U.init(n);
    f.clear();
    For(i, 1, m) {
      int u, v;
      scanf("%d%d", &u, &v);
      U.merge(u, v);
    }
    For(i, 1, n)
      linker[bel[i] = U.find(i)] += 1 << i;
    printf("Case %d: %.10f\n", i, DP(linker[bel[1]]));
  }
  return 0;
}

 

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