HDU.3516.Tree Construction(DP 四边形不等式)

最新推荐文章于 2018-03-18 11:18:00 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/SovietPower/p/8459574.html

本文介绍了一个基于平面点集的问题：通过构造树并最小化树边总长来实现最优解。通过分析决策的单调性及利用四边形不等式优化区间的动态规划方法，给出了具体的算法实现。

题目链接

贴个教程: 四边形不等式学习笔记

\(Description\)

给出平面上的\(n\)个点，满足\(X_i\)严格单增，\(Y_i\)严格单减。以\(x\)轴和\(y\)轴正方向作边，使这\(n\)个点构成一棵树，最小化树边边的总长。

\(Solution\)

考虑有两棵构造好的树，要合并这两棵树，要从右边的树中找一个最优点连到左边的树上
不难想到区间DP(~~真的想不到==~~)
\(f[i][j]\)表示将\([i,j]\)合并为一棵树的最小代价，那么有 \(f[i][j] = \min\{ f[i][k-1]+f[k][j]+cost(i,j,k) \}\)
\(cost(i,j,k)=X[k]-X[i]+Y[k-1]-Y[j]\) //ps: 当前左边树主干在 \(Xi\) 位置，且下部高度为 \(Y_{k-1}\)，合并后下部应为 \(Yj\)；另外肯定是拿右边树的最左上点合并啊
这个\(cost\)是三维的，证不了\(cost\)满足四边形不等式
那想下决策应该是满足单调性的，即 \(P[i][j-1]\leq P[i][j]\leq P[i+1][j]\)
注意左端点应是\(\max(P[i][j-1],i+1)\)
\(f\)应该满足四边形不等式，不会证。

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
const int N=1005;

int n,X[N],Y[N],P[N][N],f[N][N];

inline int read()
{
    int now=0,f=1;register char c=gc();
    for(;!isdigit(c);c=gc()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
    return now*f;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        for(int i=1; i<=n; ++i) X[i]=read(),Y[i]=read();
        memset(f,0x3f,sizeof f);
        for(int i=1; i<=n; ++i) P[i][i]=i, f[i][i]=0;
        for(int tmp,i=n-1; i; --i)
            for(int j=i+1; j<=n; ++j)
                for(int k=std::max(P[i][j-1],i+1); k<=P[i+1][j]; ++k)
                    if(f[i][j]>(tmp=f[i][k-1]+f[k][j]+X[k]-X[i]+Y[k-1]-Y[j]))
                        f[i][j]=tmp, P[i][j]=k;
        printf("%d\n",f[1][n]);
    }
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/8459574.html