掌握数值分析：牛顿迭代法原理与应用-优快云博客

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简介：数值分析是计算科学中的核心领域，涉及实数和复数的数值计算方法，特别是方程求解。牛顿迭代法（牛顿-拉弗森方法）是其中一种有效寻找方程f(x)=0根的算法。它基于泰勒展开，通过迭代更新近似值，直至满足精度要求。方法涉及初始化、计算导数、迭代过程及误差控制等关键步骤。为确保算法有效，初始值的选择至关重要，并需处理特殊情况。牛顿法具有快速收敛的特点，但也存在对初始值敏感等问题。本章将提供牛顿迭代法的理论介绍、编程实践及应用于不同类型方程的实例，以帮助读者深入理解和掌握该方法的运用。
数值分析_牛顿迭代法_

1. 数值分析概述

在数字化时代，数值分析是理解和应用数学在计算机科学中的关键技术之一。它包含了一系列算法，用于解决科学与工程中遇到的数学问题，尤其是在方程求解、积分计算、函数逼近等方面。本章旨在为读者提供一个关于数值分析的基础性介绍，为后续章节中更具体的主题，比如牛顿迭代法等高级数值算法，打下坚实的基础。

在数值分析领域，计算机的参与不仅仅是为了计算速度的提升，更多的是让复杂问题在可接受的时间内得到解决。本章将概述数值分析的核心概念，比如误差、稳定性、收敛性，并通过实际案例来说明这些概念是如何在实际问题中得到应用的。这一系列概念对于理解后续章节中牛顿迭代法的工作原理和优化策略至关重要。

1.1 数值分析的核心概念

误差：在进行数值计算时，由于近似操作和计算机精度限制导致的结果与真实值之间的差异。
稳定性 ：一个数值算法在面对初始条件或参数的微小变化时，能够保持计算结果基本不变的特性。
收敛性 ：随着计算过程的进行，数值算法的解逐渐接近真实解的性质。

1.2 数值分析的应用领域

数值分析广泛应用于工程、物理、金融等众多领域。例如，工程领域需要利用数值方法解决结构分析、流体动力学等问题；而在金融领域，数值分析则被用于风险评估、定价模型等方面。通过数值分析，工程师和科学家们能够使用数值解近似代替精确解，为解决实际问题提供可行方案。

理解数值分析的基本概念和应用，是深入学习牛顿迭代法等数值算法的前提。接下来的章节将逐步介绍牛顿迭代法的历史背景、理论基础、关键步骤和实际应用等，使读者能够全面掌握这一强大工具。

2. 牛顿迭代法（牛顿-拉弗森方法）介绍

牛顿迭代法（Newton-Raphson method），通常简称为牛顿法，是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。牛顿法使用函数 f(x) 的泰勒级数的前面几项来寻找方程 f(x) = 0 的根。

2.1 牛顿迭代法的历史背景

2.1.1 方法的起源和发展

牛顿迭代法由数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）和约瑟夫·拉弗森（Joseph Raphson）分别于17世纪独立提出。该方法在牛顿的著作《自然哲学的数学原理》中被详细描述。其原理可追溯至古希腊时期，但直到牛顿和拉弗森的工作，该方法才得到系统的理论支撑和广泛的应用。

牛顿迭代法起源于数值逼近的思想。在牛顿的时代，数学家们开始寻找系统化的算法来解决几何、物理中的问题，而牛顿法正是在这样的背景下提出的。在数学分析、数值分析等领域，牛顿法以其高效性和快速收敛特性，被广泛用于求解非线性方程的根。

2.1.2 牛顿迭代法在数学史上的地位

作为迭代法的一种，牛顿迭代法在数学史上占有举足轻重的地位。其不仅推动了数值分析领域的发展，还对科学计算以及工程技术产生了深远的影响。牛顿法提供了求解非线性问题的高效途径，并且启发了后来许多算法的发展，如拟牛顿法等。它的提出和应用是数学史上的一个重要里程碑，也是现代计算数学不可或缺的工具之一。

2.2 牛顿迭代法的基本概念

2.2.1 迭代法的定义和原理

迭代法是一种重复应用一个数学过程的算法。通常，迭代法用于在给定的近似解附近逐步逼近真实解。牛顿迭代法是一种特殊的迭代法，其每一步迭代使用的是函数的切线（即线性近似），来估计方程 f(x) = 0 的根。

该方法的基本原理是，首先选择一个接近真实根的初始猜测值 ( x_0 )，然后迭代地计算新的近似值 ( x_{n+1} ) 使用公式：

[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f’(x_n)} ]

其中 ( f’(x) ) 是函数 ( f(x) ) 在 ( x ) 处的导数。

2.2.2 牛顿迭代法与其他迭代方法的对比

牛顿迭代法相较于其他迭代方法，如梯度下降法、二分法等，具有更高的收敛速度。但这也意味着牛顿法在每一步迭代中需要计算函数的导数，这可能在某些情况下增加了计算的复杂性。此外，牛顿法对初始猜测值的依赖性强，不恰当的初始值可能导致迭代失败。相比之下，梯度下降法不依赖于导数，适用于更高维度的问题，但收敛速度较慢。

牛顿法的快速收敛性使其特别适用于要求高精度解的场合，但同时也需要更好的初始猜测值以及对函数特性的了解，以确保收敛到正确的根。因此，在选择迭代方法时，必须考虑问题的具体情况和求解目标。

3. 牛顿迭代法的理论基础和迭代公式

牛顿迭代法，亦称为牛顿-拉弗森方法，是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。它使用函数 f(x) 的泰勒级数的前几项来寻找方程 f(x)=0 的根。这种方法的吸引力在于其收敛速度通常非常快，特别是当迭代点接近解时。

3.1 牛顿迭代法的数学原理

3.1.1 泰勒级数展开与近似

泰勒级数是将一个在某区间可导的无穷次函数 f(x) 展开为无穷级数的方法。函数在某点 a 的泰勒级数展开形式为：

[ f(x) = f(a) + f’(a)(x-a) + \frac{f’‘(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f’‘’(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots ]

当 a=0 时，上述公式称为麦克劳林级数。在实际应用中，我们通常只取泰勒级数的前几项来近似表示函数，忽略高阶无穷小量。因此，若函数在某点可导，则在该点附近的函数值可以用线性项（即一阶导数项）来近似。

3.1.2 牛顿迭代法公式的推导过程

考虑方程 f(x)=0，牛顿迭代法通过以下迭代公式求解：

[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f’(x_n)} ]

这个公式的推导基于牛顿迭代思想，即通过在点 ( x_n ) 处画一条切线，切线与 x 轴交点作为下一次迭代的近似值 ( x_{n+1} )。这样，我们用一次函数近似代替曲线 f(x)，并求出在 x 轴上的根作为新的迭代点。

3.2 牛顿迭代法的迭代公式详解

3.2.1 迭代公式的组成和应用

牛顿迭代法的迭代公式由两项组成：当前点 ( x_n ) 的函数值 ( f(x_n) ) 和该点的函数导数值 ( f’(x_n) )。应用此公式需要我们能够计算函数及其导数在某点的值。

迭代公式的应用中，重要的是选择合适的初始值 ( x_0 )。理论上，只要初始值 ( x_0 ) 足够接近真实根，牛顿法几乎总是能够快速收敛。但在实际计算中，选择不当的初始值可能会导致迭代失败或收敛速度变慢。

3.2.2 公式中的收敛性分析

牛顿迭代法的收敛性取决于函数在所求根附近的性质。理想情况下，当函数在根附近一阶导数不为零且二阶导数存在时，方法会具有二次收敛速度，即每次迭代近似值的误差平方和上一次迭代的误差平方之比趋于零。

然而，对于某些函数，如果导数在根附近趋于零或者变化剧烈，牛顿迭代法可能不收敛。因此，在使用牛顿迭代法之前，需要对函数的性质进行细致分析，并可能结合其他数值分析方法来确定合适的初始值和迭代策略。

为了说明上述理论，我们可以借助一个简单的代码示例来展示牛顿迭代法的实现和应用。下面是一个使用 Python 实现牛顿迭代法的示例代码，该代码旨在求解方程 f(x)=0 的根：

def f(x):
    return x**2 - 4

def df(x):
    return 2*x

def newton_method(f, df, x0, epsilon=1e-6, max_iter=100):
    xn = x0
    for i in range(max_iter):
        fxn = f(xn)
        if abs(fxn) < epsilon:
            print("找到解在", i, "次迭代后。")
            return xn
        dfxn = df(xn)
        if dfxn == 0:
            print("导数为零。")
            return None
        xn = xn - fxn/dfxn
    print("超过最大迭代次数。")
    return None

# 应用牛顿方法
initial_guess = 2.0
root = newton_method(f, df, initial_guess)
print("根是:", root)

以上代码定义了要解的函数 f(x) 和它的导数 df(x) ，以及牛顿迭代法的主体函数 newton_method 。该函数接受函数 f ，导数 df ，初始猜测值 x0 ，容忍误差 epsilon 和最大迭代次数 max_iter 作为参数。函数迭代计算新的近似值，并检查是否达到收敛条件。

该代码段展示了如何从数学原理出发，通过编程实现牛顿迭代法的核心逻辑，并给出了函数的初始定义和调用示例。通过适当的参数调整和代码优化，我们可以将牛顿迭代法应用到更多的数学问题和实际问题中去。

4. 牛顿迭代法的关键步骤：初始化、导数计算、迭代、误差控制

牛顿迭代法的成功很大程度上取决于对关键步骤的细致处理，这些步骤包括初始化、导数计算、迭代过程和误差控制。本章将深入探讨这些步骤的具体实践，以及如何在实施牛顿迭代法时确保最佳性能。

4.1 牛顿迭代法的初始化步骤

4.1.1 初始猜测值的选择

选择一个好的初始猜测值是迭代算法成功的关键。对于牛顿迭代法而言，初始猜测值的选择通常基于问题的物理意义或是问题的特性。一个好的初始猜测值能够提高算法的收敛速度和稳定性。

def initial_guess_function():
    # 这里可以是一个基于问题背景的复杂逻辑，用于确定最佳的初始猜测值
    # 例如，可以基于函数的图形特征或已知的解决方案来估计
    return initial_guess

4.1.2 初始误差对结果的影响

初始猜测值的误差对最终解的影响是显而易见的。如果初始猜测值离真实解太远，牛顿迭代法可能会发散。因此，需要评估初始猜测值对最终结果的影响，并采取适当措施进行调整。

4.2 牛顿迭代法的导数计算

4.2.1 导数的重要性与计算方法

导数在牛顿迭代法中扮演着重要的角色，它是构建迭代步骤的关键元素。在数值计算中，导数可以通过符号微分或数值微分方法计算。在某些情况下，如果函数的导数难以求得，可以使用差分方法进行近似。

import numpy as np

def derivative_function(f, x, h=1e-5):
    """
    f: 目标函数
    x: 导数的计算点
    h: 微分的步长
    return: 在点x处函数的导数
    """
    return (f(x + h) - f(x)) / h

4.2.2 导数计算中的数值稳定问题

计算导数时，数值稳定性是一个重要的问题。选择过大的步长h可能导致截断误差增大，而过小的步长h可能导致舍入误差。因此，在实现时需要权衡这两种误差，找到一个合适的步长h。

4.3 牛顿迭代法的迭代过程

4.3.1 迭代次数与收敛速度的关系

迭代次数是衡量牛顿迭代法效率的重要指标。通常，迭代次数越多，算法越有可能收敛到准确解，但也需要消耗更多的计算资源。理解迭代次数与收敛速度的关系对于提高算法性能至关重要。

graph TD;
    A[开始迭代] --> B{检查收敛性};
    B -->|未收敛| C[进行一次迭代];
    C --> B;
    B -->|已收敛| D[结束迭代];

4.3.2 迭代过程中的监控与调整

为了确保算法的稳定性和效率，迭代过程中需要监控算法的收敛行为，并在必要时进行调整。例如，当发现迭代步长过大导致的震荡时，可以适当减小步长，或者当收敛速度过慢时，可以考虑改变迭代策略。

4.4 牛顿迭代法的误差控制

4.4.1 误差估计的方法

误差控制是迭代算法中不可忽视的部分。牛顿迭代法通常使用函数值的变化量作为误差估计的指标，同时也可以使用迭代步长或其他指标来辅助判断。

4.4.2 收敛判定标准与误差控制策略

收敛判定标准是迭代算法的核心部分，牛顿迭代法也不例外。通常，当连续两次迭代得到的函数值之差小于某个预设阈值时，可以认为算法已经收敛。误差控制策略应当根据问题的不同而有所调整，以适应各种计算环境。

以上章节详细解读了牛顿迭代法中的关键步骤，这些步骤的正确实施对于获得可靠和高效的计算结果至关重要。在后续章节中，我们将探讨牛顿迭代法的优缺点、适用条件以及在特殊情况下的处理方法。

5. 牛顿迭代法的优缺点及适用条件

5.1 牛顿迭代法的优势分析

牛顿迭代法（Newton-Raphson method）是一种强大的数值方法，它在寻找方程的根时表现出色。该方法之所以受到广泛的应用，主要是因为它在某些情况下能够提供比其他迭代方法更快的收敛速度。在这一部分，我们将探讨牛顿迭代法的效率和应用优势。

5.1.1 高效率与快速收敛特点

牛顿迭代法的核心优势在于其收敛速度快。当我们使用牛顿迭代法时，通常情况下，只需要几次迭代就可以得到非常接近实际根的近似值。这一特点尤其适用于函数导数容易获得的情况。牛顿迭代法的快速收敛能力主要得益于泰勒级数展开的使用。泰勒级数展开允许我们通过函数在某一点的切线来预测函数值在这一点的近似变化率，以此来逼近真实的根。

为了更直观地理解这一点，让我们来看一个简单的例子：

假设我们有一个简单的非线性方程 f(x) = x^2 - 2。我们想要找到这个方程的正根，也就是√2。我们可以采用牛顿迭代法来逼近这个根。牛顿迭代的公式是：

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f’(x_n)}

如果我们从初始猜测值 x_0 = 1 开始，迭代一次后的 x_1 将会是：

x_1 = 1 - \frac{1^2 - 2}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1.5

经过几次迭代后，我们会发现 x 的值很快会趋近于实际的√2，大约是 1.414。这种快速收敛的特性使得牛顿法在工程和科学计算中非常受欢迎。

5.1.2 在多类问题中的应用优势

牛顿迭代法不仅在求解代数方程中表现优异，它在许多其他类型的数学问题中也有广泛的应用。例如，牛顿法可以用于优化问题中寻找函数的最大值或最小值，即寻找导数为零的点；在非线性方程组的求解中，牛顿法也能够通过雅可比矩阵或海森矩阵来扩展使用；另外，在机器学习算法中，牛顿法也被用来优化损失函数。

牛顿法的这些优势使其成为许多复杂问题求解工具箱中不可或缺的一部分。事实上，牛顿法的多功能性和有效性让它成为高级数值分析的基石之一。

5.2 牛顿迭代法的局限性

尽管牛顿迭代法在很多方面都有其优势，但其应用也存在局限性，这些局限性对于使用者来说是必须注意的。

5.2.1 对初值选择的敏感性

一个显著的局限性是，牛顿迭代法对初始猜测值非常敏感。选择不同的初始猜测值可能会导致完全不同的结果，甚至可能使得迭代过程无法收敛。在某些情况下，如果初始值选择不当，迭代过程甚至可能陷入函数的鞍点或者导数不存在的点，这会导致迭代过程停止。

为了说明这一点，我们以一个函数 f(x) = sin(x) - x/2 为例。如果我们选择 x_0 = 0.5 作为初始值，使用牛顿法的迭代过程将会很快收敛到一个根。但如果初值选择为 x_0 = 2，迭代可能会很快发散，因为这个初值远离函数的根。

为了避免这种情况，实际应用中可能需要结合其他算法来确定一个良好的起始点，或者采用一些试探性的方法来检查初始值的适用性。

5.2.2 可能出现的发散情况

除了对初值的敏感性，牛顿迭代法在某些情况下还可能完全不收敛。具体来说，如果函数在迭代点的导数非常小或者接近零，那么牛顿迭代公式中的分母将接近于零，这会导致数值上的不稳定甚至发散。此外，如果函数是多峰的，迭代过程可能会在局部最小值附近停滞，而并非达到全局最小值。

为了解决或缓解这种问题，一种常见的做法是在迭代过程中引入某种形式的阻尼因子，或者在迭代公式中增加一个常数项来减缓更新步长，从而增加数值稳定性。

5.3 牛顿迭代法的适用场景

尽管牛顿迭代法存在一些局限性，但在正确选择问题和初始条件下，它仍然是一种非常有效的求解工具。在这一节中，我们将探讨牛顿法的适用条件和如何选择适当的问题来使用该方法。

5.3.1 函数类型和特性的考虑

使用牛顿迭代法时，一个重要的考虑因素是函数的类型和特性。牛顿法最适合那些可导且在解附近导数不为零的函数。例如，多项式函数和某些类型的指数函数就很适合使用牛顿法来求解。

函数的单调性和凸性也是考虑的因素之一。通常来说，单峰函数（只存在一个局部极值的函数）使用牛顿法效果较好，因为它们往往只有一个根。对于多峰函数，可能需要更仔细地选择初始值，并结合其他策略来确保找到正确的根。

5.3.2 实际问题中牛顿迭代法的选择标准

在实际问题中，选择使用牛顿迭代法时应考虑以下标准：

函数的复杂性：对于简单或中等复杂度的函数，牛顿法可能是一个非常快速和有效的选择。
初始值的选择：需要有一定的先验知识，或者采用其他方法来确定一个好的初始值。
迭代的稳定性：在迭代过程中需要密切关注函数值和导数的变化，确保算法的稳定性。
计算资源：牛顿法需要计算导数，对于计算资源要求相对较高，尤其是在高维空间中。

合理地选择适用条件和对算法进行适当调整，牛顿迭代法将能够在许多实际问题中发挥其强大的作用。

6. 特殊情况处理

在实际应用牛顿迭代法时，开发者和工程师经常会遇到一些特殊情况，这些情况可能会影响迭代法的正常工作。对于这些特殊情况的处理方式，是牛顿迭代法能否成功应用于特定问题的关键。本章将探讨处理无解或解不唯一的情况，以及迭代过程中可能出现的异常情况。

6.1 处理无解或者解不唯一的特殊情况

当使用牛顿迭代法求解方程时，可能会遇到方程无解，或者存在多个解的情况。这种情况对于牛顿迭代法来说是一种挑战，因为迭代法本身并不具备自动识别无解或选择合适解的能力。因此，需要在迭代之前和迭代过程中采取一些措施来处理这类问题。

6.1.1 无解情况的预判与处理

在实际应用中，对于无解的方程，我们需要对其进行预判。通常，无解的情况发生在方程有多个不可达的根，或者迭代过程中的某些计算结果指向了无解的方向（例如，导数接近零，或者迭代公式中的计算导致了无法继续进行的情况）。

预判无解通常需要通过一些数学手段来进行，例如，可以检查函数值的符号变化来推断根的存在。如果在一个区间内函数值的符号发生了变化，则可以推断此区间内至少存在一个根。如果经过多次迭代，都没有找到任何符合条件的解，则可以初步判定方程在此区间内无解。

处理无解情况的一种方法是在预判无解后，进行参数调整或者选择不同的迭代起始点。此外，可以尝试结合其他数学方法，如Bisection method（二分法）来辅助判断和寻找可能存在的解。

6.1.2 多解情况的策略与选择

在面对多解情况时，选择适当的初始猜测值变得至关重要。牛顿迭代法的收敛性很大程度上取决于初始猜测值的选择。在已知多解的情况下，开发者可以基于具体问题的背景知识来选择适当的初始值，以期望迭代能收敛到需要的解。

如果对解的性质不够了解，可以采用多次运行牛顿迭代法的策略，每次使用不同的初始猜测值。通过比较多次迭代的最终结果，可以选择出最适合问题要求的解。

此外，还可以采用一些变种的牛顿迭代方法，如全局牛顿法（Global Newton Method），这类方法在迭代过程中采用了一些策略来避免陷入局部极小值，从而能更加稳健地寻找多个解。

6.2 处理迭代过程中的异常情况

牛顿迭代法在进行迭代计算时，可能会遇到一些异常情况，例如导数为零或迭代过程中的数值稳定性问题。处理这些异常情况对于算法的稳定性和最终结果的准确性至关重要。

6.2.1 导数为零的处理方法

在迭代过程中，如果某次迭代的导数值为零，则说明我们遇到了一个临界点。对于牛顿迭代法而言，导数为零通常意味着迭代停止，因为无法继续进行下一次迭代。

对于导数为零的情况，处理方法取决于具体问题的需求。如果是寻找极小值或极大值，导数为零可能意味着找到了一个极值点。在这种情况下，可以停止迭代并记录当前点作为潜在的极值解。

如果需要继续寻找其他解，那么可能需要绕过这个极值点。一种可能的处理方式是应用一些小的扰动（如随机添加一个小的数值到导数为零的点），以避免在该点停止迭代。或者，可以使用混合方法，结合其他迭代方法来克服这个问题。

6.2.2 迭代过程中的数值稳定性维护

在进行牛顿迭代法计算时，数值稳定性是一个重要的考量因素。数值稳定性差可能导致迭代过程中的数值错误迅速放大，最终影响到结果的准确度。

为了维护数值稳定性，通常需要采取以下措施：

使用适当的数学库： 选择能够提供高精度计算的数学库，如使用双精度浮点数（double precision）而非单精度浮点数（single precision），以减少数值误差。
控制迭代步长： 可以引入自适应步长控制机制，根据当前迭代的进展动态调整步长。小步长有助于减少数值累积误差，但会延长迭代时间。
检查迭代终止条件： 除了传统的收敛性判断外，还应该检查迭代过程中是否出现异常，如结果突然发散或超出预期范围。
异常处理机制： 在代码实现中引入异常处理机制，对如除零错误、数值下溢或溢出等异常情况进行捕获，并给予适当的处理。

通过上述措施的组合，可以在很大程度上保证迭代过程的数值稳定性，从而获得更加可靠的计算结果。

在下一章中，我们将探讨牛顿迭代法在科学研究中的实际应用，以及如何通过编程实现并优化牛顿迭代法的代码。

7. 牛顿迭代法的实际应用和代码实现

在科学研究和工程实践中，牛顿迭代法的应用相当广泛，它在处理特定类型的数学问题时显示出独特的效率和准确性。本章节将通过实例来展示牛顿迭代法在实际中的应用，并提供编程实现的详细步骤，以及后续的代码优化和调试技巧。

7.1 牛顿迭代法在科学研究中的应用实例

7.1.1 应用领域与问题举例

牛顿迭代法在多个科学领域中有着广泛的应用，尤其是在物理学、工程学、经济学等领域。例如，在求解非线性方程时，尤其是在化学反应动力学中，求解平衡常数、反应速率时，牛顿法可以快速地逼近真实的根值。

在工程设计领域，例如在飞机翼型的设计中，为了获得特定的升力特性，可能需要求解复杂的流体动力学方程。这时，牛顿迭代法可以用来求解流体流动方程，以预测翼型周围的流场。

7.1.2 成功案例与经验分享

一个成功的应用案例是求解机械振动系统中的固有频率问题。通过建立系统的振动方程，牛顿迭代法能够快速找到方程的根，从而确定系统的固有频率。在处理这类问题时，研究人员通常会预先估计一个接近真实值的初始猜测值，再利用牛顿迭代法进行优化，逐步逼近精确值。

7.2 牛顿迭代法的编程实现

7.2.1 编程语言选择与环境搭建

在实现牛顿迭代法时，可以选用多种编程语言，如Python、C++、MATLAB等。这些语言各有优劣，但普遍拥有强大的数学计算库支持。以Python为例，借助其科学计算库NumPy和SciPy，可以非常方便地进行数值计算。

首先，确保Python环境已经安装，随后通过pip安装NumPy和SciPy库：

pip install numpy scipy

7.2.2 核心代码逻辑与实现细节

以下是一个使用Python实现牛顿迭代法的简单示例代码，目标是求解函数 f(x) = x^2 - 2 的根。

import numpy as np

# 定义目标函数
def f(x):
    return x**2 - 2

# 定义目标函数的导数
def df(x):
    return 2*x

# 牛顿迭代法函数实现
def newton_method(x0, eps, max_iter):
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        x_new = x - f(x)/df(x)  # 迭代公式
        if np.abs(x_new - x) < eps:  # 收敛性判断
            print(f"Converged in {i} iterations.")
            return x_new
        x = x_new
    print("Did not converge.")
    return x

# 初始猜测值
x0 = 1.0
# 收敛阈值
eps = 1e-6
# 最大迭代次数
max_iter = 100

# 调用牛顿迭代法函数
root = newton_method(x0, eps, max_iter)
print(f"Root: {root}")