pca 累积方差贡献率公式_R语言 PCA主成分分析

最新推荐文章于 2025-05-29 21:31:25 发布
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文章标签： pca 累积方差贡献率公式
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本文介绍了R语言中PCA主成分分析的统计学背景，包括协方差和相关系数的概念，接着通过实例讲解了PCA的过程，如载入数据、主成分分析、结果解读，并展示了如何画主成分的碎石图和散点图。通过分析，前两个主成分的累积方差贡献率达到96.36%，可用于数据降维。

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R语言 PCA主成分分析

前言统计学背景知识协方差相关系数函数总结实例讲解1.载入原始数据2.作主成分分析3.结果解读4.画主成分的碎石图并预测5.PCA结果绘制后记

前言

PCA分析大家肯定经常看到，但是你真的懂PCA分析的结果吗？

图我也会看，我只是不是很清楚PCA背后输出结果的解读而已。正好看到一篇不错的博客，就把主要的知识点记录下 。

reference:

  • http://www.cnblogs.com/longzhongren/p/4300593.html

  • https://www.zhihu.com/question/20852004

  • 223.主成分分析PCA

统计学背景知识

协方差

可以通俗的理解为：两个变量在变化过程中是同方向变化？还是反方向变化？同向或反向程度如何？

  • 你变大，同时我也变大，说明两个变量是同向变化的，这时协方差就是正的。

  • 你变大，同时我变小，说明两个变量是反向变化的，这时协方差就是负的。

从数值来看，协方差的数值越大，两个变量同向程度也就越大。反之亦然。

从公式出发来理解一下：

a86efb828c93b8d5dd450afba1f3875d.png

公式简单翻译一下是：如果有X，Y两个变量，每个时刻的“X值与其均值之差”乘以“Y值与其均值之差”得到一个乘积，再对这每时刻的乘积求和并求出均值(其实是求“期望”，但就不引申太多新概念了，简单认为就是求均值了)。

具体例子可以去知乎详细查看：

https://www.zhihu.com/question/20852004

相关系数

对于相关系数，我们从它的公式入手。一般情况下，相关系数的公式为：

3b086f650481a8b04526bcc485d5129f.png

翻译一下：就是用X、Y的协方差除以X的标准差和Y的标准差。

所以，相关系数也可以看成协方差：一种剔除了两个变量量纲影响、标准化后的特殊协方差。

既然是一种特殊的协方差，那它：

1、也可以反映两个变量变化时是同向还是反向，如果同向变化就为正，反向变化就为负。

2、由于它是标准化后的协方差，因此更重要的特性来了：它消除了两个变量变化幅度的影响，而只是单纯反应两个变量每单位变化时的相似程度。

具体例子可以去知乎详细查看：

https://www.zhihu.com/question/20852004

函数总结

注意：这里的输入数据，rownames是样本名，colnames是样本的特征。(与正常数据正好相反，需要用t()来转置数据)

  • princomp()主成分分析  可以从相关阵或者从协方差阵做主成分分析

  • fviz_pca_ind对princomp()结果进行展示

  • summary()提取主成分信息

  • loadings()显示主成分分析或因子分析中载荷的内容

  • predict()预测主成分的值

  • screeplot()画出主成分的碎石图

  • biplot()画出数据关于主成分的散点图和原坐标在主成分下的方向

实例讲解

现有30名中学生身高、体重、胸围、坐高数据，对身体的四项指标数据做主成分分析。

1.载入原始数据
# 清空环境
rm(list = ls())
options(stringsAsFactors = F)

# 准备数据
if (T) {
  test    X1=c(148, 139, 160, 149, 159, 142, 153, 150, 151, 139,
         140, 161, 158, 140, 137, 152, 149, 145, 160, 156,
         151, 147, 157, 147, 157, 151, 144, 141, 139, 148),
    X2=c(41, 34, 49, 36, 45, 31, 43, 43, 42, 31,
         29, 47, 49, 33, 31, 35, 47, 35, 47, 44,
         42, 38, 39, 30, 48, 36, 36, 30, 32, 38),
    X3=c(72, 71, 77, 67, 80, 66, 76, 77, 77, 68,
         64, 78, 78, 67, 66, 73, 82, 70, 74, 78,
         73, 73, 68, 65, 80, 74, 68, 67, 68, 70),
    X4=c(78, 76, 86, 79, 86, 76, 83, 79, 80, 74,
         74, 84, 83, 77, 73, 79, 79, 77, 87, 85,
         82, 78, 80, 75, 88, 80, 76, 76, 73, 78)
  )
  rownames(test) "student_",1:30)
  colnames(test) "height","weight","chest","sit-h")
}
2.作主成分分析
# PCA分析
if (T) {
  test.prTRUE)
  summary(test.pr,loadings=TRUE)
}

# Importance of components:
#                           Comp.1     Comp.2     Comp.3     Comp.4
# Standard deviation     1.8817805 0.55980636 0.28179594 0.25711844
# Proportion of Variance 0.8852745 0.07834579 0.01985224 0.01652747
# Cumulative Proportion  0.8852745 0.96362029 0.98347253 1.00000000
# 
# Loadings:
#        Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4
# height  0.497  0.543  0.450  0.506
# weight  0.515 -0.210  0.462 -0.691
# chest   0.481 -0.725 -0.175  0.461
# sit-h   0.507  0.368 -0.744 -0.232

结果解读：

  • Standard deviation 标准差  其平方为方差=特征值

  • Proportion of Variance 方差贡献率

  • Cumulative Proportion 方差累计贡献率

由结果显示：前两个主成分的累计贡献率已经达到96.36%，可以舍去另外两个主成分，达到降维的目的。

因此可以得到函数表达式：

  • Z1 = 0.497*height + 0.515*weight + 0.481*chest + 0.507*sit-h

  • Z2 = 0.543*height - 0.210*weight - 0.725*chest + 0.368*sit-h

注意要点：

  • princomp()函数中：

cor是逻辑变量，当cor=TRUE表示用样本的相关矩阵R做主成分分析，当cor=FALSE表示用样本的协方差阵S做主成分分析

  • summary()函数中：

loading是逻辑变量，当loading=TRUE时表示显示loading 的内容，loadings的输出结果为载荷是主成分对应于原始变量的系数，即Q矩阵

3.结果解读

这里我们可以看一看得到的test.pr变量的结构：

6a8ef3040fc170b46a8bbc3460283d91.png

  • sdev是标准偏差

  • center是每列计算是减去的均值

  • scores即降维之后的结果

我们可以利用函数来验证下scores的结果到底是什么意思：

library(factoextra)
# PCA结果图
fviz_pca_ind(test.pr)
# 手动画散点图
ggplot(as.data.frame(test.pr$scores),aes(Comp.1,Comp.2)) + geom_point()

PCA结果图：

90de45ba9fa46e71270a206632094c21.png

手动画散点图：

9621bc85c181df5e990b600b74a87e37.png

可以看到，这两者的结果图是一样的！

4.画主成分的碎石图并预测
screeplot(test.pr,type="lines")

f995511260b512696db731e7f0f8abe5.png

5.PCA结果绘制

主要用到的函数是fviz_pca_ind，这个函数来自factoextraR包，所以需要先安装&加载才可使用，下面记录下关于这个函数最常用的几个选项：

Usage

fviz_pca_ind(X, axes = c(1, 2), geom = c("point", "text"),
      geom.ind = geom, repel = FALSE, habillage = "none", palette = NULL,
      addEllipses = FALSE, col.ind = "black", fill.ind = "white",
      col.ind.sup = "blue", alpha.ind = 1, select.ind = list(name = NULL, cos2
      = NULL, contrib = NULL), ...)

Arguments
# geom——指定图形上是只显示点，还是同时也显示标签。默认同时显示。
# palette——自行指定颜色
# addEllipses——加95%置信椭圆
# col.ind——每个点的颜色
# legend.title——指定legend的名字

下面看实例：

fviz_pca_ind(test.pr,
             geom.ind = "point",
             col.ind = as.character(c(rep("Normal",15),rep("Tumor",15))),
             palette = c("red", "black"),
             addEllipses = T, 
             legend.title = "Groups")

ed3078687403b6f6471fc6b1d08bf7d6.png

是有点丑了，不过也是为了方便理解这个函数每个参数的意义。

后记

稍微整理了下，感觉对PCA怎么画有了更多了解，虽然之前画过，但是都是跑流程，从没有关注具体结果，所以，看似简单，但是却不熟悉。

Liu Baihua
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