P3216 [HNOI2011]数学作业（矩阵快速幂）

P3216 数学作业题解

最新推荐文章于 2025-03-31 17:00:00 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/dsrdsr/p/9301009.html

本文介绍了一道名为数学作业的算法题(P3216)，该题要求计算由1至N所有正整数串联而成的大数对M取模的结果。通过分析，采用矩阵快速幂的方法解决了此问题，并给出了完整的C++实现代码。

P3216 [HNOI2011]数学作业

题目描述

小 C 数学成绩优异，于是老师给小 C 留了一道非常难的数学作业题：

给定正整数 NN 和 MM ，要求计算 Concatenate (1 .. N) Concatenate(1..N) ModMod MM 的值，其中 Concatenate (1 .. N) Concatenate(1..N) 是将所有正整数 1, 2, …, N1,2,…,N 顺序连接起来得到的数。例如， N = 13N=13 , Concatenate (1 .. N)=12345678910111213Concatenate(1..N)=12345678910111213 .小C 想了大半天终于意识到这是一道不可能手算出来的题目，于是他只好向你求助，希望你能编写一个程序帮他解决这个问题。

输入输出格式

输入格式：
从文件input.txt中读入数据，输入文件只有一行且为用空格隔开的两个正整数N和M，其中30%的数据满足 1≤N≤10000001≤N≤1000000 ；100%的数据满足 1≤N≤10^{18}1≤N≤$ 10^18 $
且 1≤M≤$ 10^9 $1≤M≤1$ 0^9 $
.
输出格式：
输出文件 output.txt 仅包含一个非负整数，表示 Concatenate (1 .. N)Concatenate(1..N) ModMod MM 的值。

输入输出样例

输入样例#1：
13 13
输出样例#1：
4

递推式容易得到：\[ f[i+1]=f[i]*10^{k}+i+1 \]
范围 $ n<=10^{18} $
线性算法肯定TLE，那就考虑log的算法（快速幂或者倍增）
考虑把递推式转换成矩阵
递推式有三项
经验告诉我们，也许要用到$3*3$的矩阵
经过一系列 ~~碰数，凑数~~，计算
我们得到矩阵
\[\begin{pmatrix} f[n+1],n+1,1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} f[n],n,1 \end{pmatrix} \times \begin{bmatrix} 10^{k},0,0\\1,1,0\\1,1,1 \end{bmatrix} \]
从而可以得到
\[\begin{pmatrix} f[n+1],n+1,1 \end{pmatrix}= =\begin{pmatrix} f[1],1,1 \end{pmatrix} \times \begin{bmatrix} 10^{k},0,0\\1,1,0\\1,1,1\end{bmatrix}^{n-1}\]
ps:k是位数

k虽然是不确定的，但k的范围却很小 <=18
所以分开做就可以了

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,mod;
struct node {
    ll m[4][4];
} ans,ss,a;
node mul(node x,node y) {
    node c= {};
    for(int i=1; i<=3; ++i)
        for(int j=1; j<=3; ++j)
            for(int k=1; k<=3; ++k)
                c.m[i][j]=(c.m[i][j]+(x.m[i][k]*y.m[k][j])%mod)%mod;
    return c;
}
void fpow(ll p) {
    while(p) {
        if(p&1) ans=mul(ans,ss);
        ss=mul(ss,ss);
        p>>=1;
    }
}
int main() {
    //全部开long long不要质疑
    cin>>n>>mod;
    ans.m[1][3]=a.m[1][1]=a.m[2][1]=a.m[2][2]=a.m[3][1]=a.m[3][2]=a.m[3][3]=1;
    for(ll i=1,j; i<=n; i=j+1) {
        j=i*10-1;
        if(j>n) j=n;
        a.m[1][1]=a.m[1][1]*(ll)10%mod;
        ss=a;
        fpow(j-i+1);
    }
    printf("%lld\n",ans.m[1][1]%mod);
    return 0;
}

自己还是太弱，最后处理菜的要死

转载于:https://www.cnblogs.com/dsrdsr/p/9301009.html