【矩阵快速幂】P3216 [HNOI2011] 数学作业|省选--优快云博客

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本文涉及知识点

【矩阵快速幂】封装类及测试用例及样例

P3216 [HNOI2011] 数学作业

题目描述

小 C 数学成绩优异，于是老师给小 C 留了一道非常难的数学作业题：

给定正整数 $n, m$ ，要求计算 $\text{Concatenate}(n) \bmod \ m$ 的值，其中 $\text{Concatenate}(n)$ 是将 $\sim n$ 所有正整数顺序连接起来得到的数。

例如， $n = 13$ ， $\text{Concatenate}(n) = 12345678910111213$ 。小 C 想了大半天终于意识到这是一道不可能手算出来的题目，于是他只好向你求助，希望你能编写一个程序帮他解决这个问题。

输入格式

一行两个正整数 $n, m$ 。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

13 13

输出 #1

说明/提示

【数据范围】

对于 $30\%$ 的数据， $1\le n \le 10^6$ ；
对于 $100\%$ 的数据， $1\le n \le 10^{18}$ ， $1\le m \le 10^9$ 。

2023.4.20 添加一组 hack 数据。

矩阵指数幂

令f(n) 是本题的答案。
当i $\in$ [1,9]是，ans =pre $\times$ matⁱ f(i) = ans[0]。
pre= {f(i-1),i-1,1} cur= {f(i),i,1} pre初始化{0,0,1}
f(i) = 10f(i-1)+(i-1)+1 mat[0][0]=10 mat[1][0]=1 mat[2][0]=1
i = (i-1)+1 mat[1][1]=1 mat[2][1]=1
1 = 1 mat[2][2]
当i $\in$ [10,99] 即i是两位数时：
premat1⁹*mat2^i-9
mat2[0][0]=100，其它和mat1相同。
i是3位数，4位数 $\cdots$ 与2位数同。

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include <array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};


template<class T = long long>
class CMatMul
{
public:
	CMatMul(T llMod = 1e9 + 7) :m_llMod(llMod) {}
	// 矩阵乘法
	vector<vector<T>> multiply(const vector<vector<T>>& a, const vector<vector<T>>& b) {
		const int r = a.size(), c = b.front().size(), iK = a.front().size();
		assert(iK == b.size());
		vector<vector<T>> ret(r, vector<T>(c));
		for (int i = 0; i < r; i++)
		{
			for (int j = 0; j < c; j++)
			{
				for (int k = 0; k < iK; k++)
				{
					ret[i][j] = (ret[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % m_llMod;
				}
			}
		}
		return ret;
	}

	// 矩阵快速幂
	vector<vector<T>> pow(const vector<vector<T>>& a, vector<vector<T>> b, T n) {
		vector<vector<T>> res = a;
		for (; n; n /= 2) {
			if (n % 2) {
				res = multiply(res, b);
			}
			b = multiply(b, b);
		}
		return res;
	}
	vector<vector<T>> pow(vector<vector<T>> pre, vector<vector<T>> mat, const string& str)
	{
		for (int i = str.length() - 1; i >= 0; i--) {
			const int t = str[i] - '0';
			pre = pow(pre, mat, t);
			mat = pow(mat, mat, 9);
		}
		return pre;
	}
	vector<vector<T>> TotalRow(const vector<vector<T>>& a)
	{
		vector<vector<T>> b(a.front().size(), vector<T>(1, 1));
		return multiply(a, b);
	}
protected:
	const  T m_llMod;
};

class Solution {
public:
	long long Ans(long long n, long long MOD) {
		long long unit = 1;
		CMatMul<> matMul(MOD);
		vector<vector<long long>> ans = { {0,0,1} };
		for (int i = 1; i <= 18; i++) {
			unit *= 10;
			vector<vector<long long>> mat(3, vector<long long>(3));
			mat[0][0] = unit % MOD; mat[1][0] = 1; mat[2][0] = 1;
			mat[1][1] = 1; mat[2][1] = 1;
			mat[2][2] = 1;
			ans = matMul.pow(ans, mat, min(unit - 1, n) - (unit / 10 - 1));
			if (n < unit) { return ans[0][0]; }
		}
		long long llAns = (ans[0][0] * (long long)1e9) % MOD;
		llAns = (llAns * (long long)1e5) % MOD;
		llAns = (llAns * (long long)1e5) % MOD;
		return (llAns + n) % MOD;
	}
};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0);
	long long N, M;
	cin >> N >> M ;

		auto res = Solution().Ans(N,M);
		cout <<res << "\n";

		
#ifdef _DEBUG		
	//printf("start=%d,end=%d,T=%d", start,end,T);
	//Out(edge, "edge=");
	//Out(fish, ",fish=");
	/*Out(edge, "edge=");
	Out(que, "que=");*/
#endif // DEBUG	
	
	return 0;
}

单元测试

TEST_METHOD(TestMethod1)
		{
			auto res = Solution().Ans(13,13);
			AssertEx(4LL, res);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
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学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
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