【bzoj3884】上帝与集合的正确用法【欧拉函数】-优快云博客

本文介绍了一种利用欧拉函数的性质解决特定数学问题的方法。通过递归计算，解决了形如222...模p的问题，并给出了完整的C++实现代码。

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题解
这道题其实就是一个欧拉函数的性质的应用：
若(a,m)=1且a,m≥2，则aφ(m) mod m≡1。
我们设x=222...，p=2kq，(q,2)=1。
则x mod p
=2k(2x−k mod q) mod p
=2k(2(x−k) mod φ(q)+φ(q) mod q) mod p
我们令f(i,j)=(x−i) mod j
则f(0,p)=2k(2f(k,φ(q))+φ(q) mod q) mod p
于是我们只需要递归计算即可。当q=1就返回0。
答案就是f(0,p)。
代码

#include<cstdio>
#define int long long
int t,p;
int calcphi(int n){
    if(n==1||n==2){
        return 1;
    }
    int res=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            res=res/i*(i-1);
            while(n%i==0){
                n/=i;
            }
        }
    }
    if(n!=1){
        res=res/n*(n-1);
    }
    return res;
}
int fastpow(int a,int x){
    int res=1;
    while(x){
        if(x&1){
            res*=a;
        }
        x>>=1;
        a*=a;
    }
    return res;
}
int fastpow2(int a,int x,int mod){
    int res=1;
    while(x){
        if(x&1){
            res=res*a%mod;
        }
        x>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return res;
}
int solve(int i,int j){
    if(j==1){
        return 0;
    }
    int u=0,tmp=j;
    while(!(tmp&1)){
        u++;
        tmp>>=1;
    }
    int phi=calcphi(tmp);
    return (fastpow(2,u)*(fastpow2(2,solve(u,phi)+phi,tmp)%tmp)%j-i%j+j)%j;
}
signed main(){
    scanf("%lld",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld",&p);
        printf("%lld\n",solve(0,p));
    }
    return 0;
}