乘法逆元学习笔记

最新推荐文章于 2025-09-10 15:16:07 发布

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文章标签： c/c++

原文链接：http://www.cnblogs.com/djhsbdb/p/9866469.html

概念

对于a*x ≡ 1 (mod p) ，则称x为a的逆元，也即a在mod p下的倒数

所以对于 (a/b) mod p，我们可以先求出b的逆元，再与a相乘，再mod p即可

逆元的求法有多种，但线性推是最快的//对于求乘法逆元的模板题是最快的，但具体求某一个值就不行了（11.7upd）

线性推

递推式:inv[i]=p-p/i*inv[p mod i]%p;

证明:

已知要求一个数的逆元;i*x ≡ 1 (mod p)

p=⌊p/i⌋*i+r r为余数

设⌊p/i⌋为k

则 k*i + r ≡ 0 (mod p)

同乘 1/i 和 1/r

则 k/r + 1/i ≡ 0 (mod p)

则有 1/i ≡ -⌊p/i⌋/(p mod i) (mod p)

前面已经说过一个数的逆元等于这个数在mod p 意义下的倒数

所以

inv[i] = -(p/i) / (p mod i) (mod p) (c++中int 自动向下取整

但我们要保证inv[i]为正数

所以可以加上一个p

因为p (mod p)=0,对结果没有影响

综上得到递推式 inv[i]=p-p/i*inv[p mod i]%p;

inv[0]=0,inv[1]=1;

代码实现:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

typedef long long ll;

inline int read(){
    int x=0; bool f=1; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=0;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    if(!f)return 0-x;
    return x;
}

ll inv[3000005];

int main(){
    int n,p;
    n=read(),p=read();
    inv[1]=1;
    printf("1\n");
    for(int i=2;i<=n;i++){
        inv[i]=(ll)p-(p/i)*inv[p%i]%p;
        printf("%lld\n",inv[i]);
    }
}

欧拉定理

如果 $a,p互质，那么a^φ(p) ≡ 1 (mod p)$

$所以x=a^(p-2) (mod p)$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll quickpow(ll a,ll b,ll p){
    ll ret=1;
    a%=p;
    while(b){
        if(b%2)ret=ret*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ret%p;
}

int QAQ;

int main(){
    ll n,p;
    scanf("%lld%lld",&n,&p);
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        ll t=quickpow(i,p-2,p);
        printf("%lld\n",t);
    }
    return QAQ;
}

解同余方程

a*x ≡ 1(mod p)等价于求a*x+p*y=gcd(a,p)=1

用exgcd求解即可

代码实现:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

inline int read(){
    int x=0; bool f=1; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=0;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    if(!f)return 0-x;
    return x;
}

int n,p,QAQ;

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
}

int main(){
    n=read(),p=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x,y;
        exgcd(i,p,x,y);
        cout<<(x%p+p)%p<<endl;
    }
    return QAQ;
}