[HNOI2008] 玩具装箱 D2 T3 斜率优化DP

最新推荐文章于 2021-11-04 21:56:00 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/kanbokedeshiwoerzi/p/9078639.html

本文介绍了一个关于玩具运输的动态规划问题及其斜率优化解决方案。问题要求将连续编号的玩具放入一维容器中，并使得总费用最小，费用与容器长度相关。文章提供了具体的实现代码，展示了如何通过斜率优化减少复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

输出最小费用

Sample Input

5 4

Sample Output

Solution

又是一道斜率优化基础入门题，先写暴力DP:

dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]−sum[j]+i−j−1−L)2)，然后进行斜率优化即可。

Code

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#define inf 1e18
using namespace std;
int n,l,sum[50100],a[500100];
int que[50100],h,t;
long long f[50100],q[50100],p[50100];
long long q1(long long x){return f[x]+q[x]*q[x];}
double count(int x,int y){return (q1(x)-q1(y))*1.0/(2.0*(q[x]-q[y]));}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&l);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        sum[i]=a[i]+sum[i-1];
    for(int i=1;i<=n;++i)
        f[i]=inf;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        q[i]=sum[i]+i;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        p[i]=sum[i]+i-l-1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(h<t&&count(que[h],que[h+1])<=p[i]*1.0)h++;
        f[i]=f[que[h]]+(p[i]-q[que[h]])*(p[i]-q[que[h]]);
        while(h<t&&count(que[t-1],que[t])>=count(que[t],i))t--;
        que[++t]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
}

转载于:https://www.cnblogs.com/kanbokedeshiwoerzi/p/9078639.html