SG函数

　　组合博弈

　　先定义一个辅助函数mex=(s),mex是最小的不在集合s中的整数，如mex{0,1,3,4}=2;

　　定义函数sg(),sg(x)=0表示x为必败态，sg(x)!=0表示x为必胜态

　　　　sg(x)=mex{sg(y) | y是x的所有后继}

　　那么组合博弈时,若sg(x1,x2,x3...xn)=sg(x1)^sg(x2)^sg(x3)...^sg(xn)==0，先手必败，反之先手必胜

　　那么怎么求每个状态的sg值：

　　　　1）初始化sg数组，将所有终止态标记为必败态（0）。

　　　　2）开始依次遍历所有状态：将每个状态后继的sg值存入mex集合中，当扫描完某一状态的所有后继态后，找到最小的不存在mex集合中的元素，就是当前状态的sg值

　　sg值可以通过递推式求，也可以通过记忆化递归求，详见下面例题

　　hdu1536 sg递推函数板子

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 10005

bool mex[maxn];
int sg[maxn],N;
void sg_solve(int *s,int t){//递推函数，s是每次可以取的个数，t是s的长度 
    memset(sg,0,sizeof sg);
    for(int i=1;i<maxn;i++){//从小到大递推每个状态 
        memset(mex,0,sizeof mex);//清空mex 
        for(int j=0;j<t;j++)//把后继的sg值放入mex中 
            if(i>=s[j]) mex[sg[i-s[j]]]=1;
        int j;
        for(j=0;j<maxn;j++)//求出该状态的sg值 
            if(!mex[j]) break;
        sg[i]=j;
    }
}

int main(){
    int t,k,n,s[maxn],a;
    while(scanf("%d",&t)==1,t){
        for(int i=0;i<t;i++) scanf("%d",&s[i]);
        sort(s,s+t);
        sg_solve(s,t);//先把sg值从1-maxn都打出来， 
        
        scanf("%d",&k);
        while(k--){
            int tot=0,a; 
            scanf("%d",&n);
            for(int i=0;i<n;i++){
                scanf("%d",&a);
                tot^=sg[a];    
            }
            if(tot) printf("W");
            else printf("L");
        }
        puts("");
    }
}

 hdu3980这题要用记忆化搜索出每个后继的sg值，如果画出一棵递归树，那么最终的sg值就是根节点，根节点的所有儿子是根节点的后继，一个节点的sg值依然通过mex集合求，mex集合的元素是该节点所有儿子结点的sg值

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 1005

int t,n,m,sg[maxn]; 

int get_sg(int len){
    if(len<m) return sg[len]=0;//无法分解成两个子状态，即为终止态 
    if(sg[len]!=-1) return sg[len];//记忆化递归，即在递归时保留之前的值 
    bool mex[1001]={0};
    for(int i=0;len-i-m>=0;i++)//每次都可以分解成规模为2的nimm game，其sg值就是两个子状态的异或 
        mex[get_sg(i)^get_sg(len-i-m)]=1;
    for(int i=0;i<1001;i++)//再求出该状态的sg值 
        if(!mex[i]) return sg[len]=i;
}

int main(){
    scanf("%d",&t);
    for(int i=1;i<=t;i++){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        memset(sg,-1,sizeof sg);
        printf("Case #%d: ",i);
        if(n<m || get_sg(n-m))//原来的先手转换成了后手 
            printf("abcdxyzk\n");
        else printf("aekdycoin\n"); 
    }
}

 

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