[GXOI/GZOI2019]逼死强迫症——递推+矩阵乘法

最新推荐文章于 2019-08-15 10:06:42 发布

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本文详细解析了GXOI/GZOI2019中的一道算法题“逼死强迫症”，通过定义状态转移方程并利用矩阵乘法优化递推过程，给出了一种高效的解决方案。

题目链接：

[GXOI/GZOI2019]逼死强迫症

设$f[i][j]$表示前$i$列有$j$个$1*1$的格子的方案数，那么可以列出递推式子：

$f[i][0]=f[i-1][0]+f[i-2][0]$

$f[i][1]=2*f[i-1][0]+f[i-1][1]$

$f]i][2]=f[i-1][2]+f[i-2][2]+f[i-2][1]$

通过递推式子求出一个$6*6$的矩阵然后用矩阵乘法优化递推即可。

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
struct lty
{
	int a[7][7];
	lty(int x)
	{
		memset(a,0,sizeof(a));
		for(int i=1;i<=6;i++)
		{
			a[i][i]=x;
		}
	}
	lty operator *(lty s)
	{
		lty res(0);
		for(int i=1;i<=6;i++)
		{
			for(int j=1;j<=6;j++)
			{
				for(int k=1;k<=6;k++)
				{
					res.a[i][j]=(res.a[i][j]+1ll*a[i][k]*s.a[k][j]%mod)%mod;
				}
			}
		}
		return res;
	}
};
int n,T;
lty quick(int k)
{
	lty f(0);
	f.a[1][1]=1,f.a[4][1]=1;
	f.a[1][2]=2,f.a[2][2]=1;
	f.a[3][3]=1,f.a[5][3]=1;
	f.a[6][3]=1,f.a[1][4]=1;
	f.a[2][5]=1,f.a[3][6]=1;
	lty g(1);
	if(k<0)
	{
		return g;
	}
	while(k)
	{
		if(k&1)
		{
			g=g*f;
		}
		k>>=1;
		f=f*f;
	}
	return g;
}
void solve(int n)
{
	lty res=quick(n-2);
	int ans=1ll*res.a[1][3]*2%mod;
	ans=(ans+1ll*res.a[2][3]*4%mod)%mod;
	ans=(ans+1ll*res.a[4][3]*1%mod)%mod;
	ans=(ans+1ll*res.a[5][3]*2%mod)%mod;
	printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		solve(n);
	}
}

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