递归算法之欧几里得(Euclid)算法

欧几里得算法

首先介绍一下欧几里得算法，欧几里得算法又称辗转相除法：已知两个非负整数m,n，且m>n>0,求这两个数的最大公因子。

其计算原理是这样的：两个整数的最大公约数等于其中最小的那个数和两数相除余数的最大公约数。最大公约数(Greatest Common Divisor)，简写为GCD

                                               用函数表示就是：GCD(m,n)=GCD(n,m mod n)

这可能不好理解，下面来证明一下这个定理：

      m=kn+r,(m,n,k,r都是正整数)，则r=m mod n。

      假设d是m,n的一个公约数，而 r=m-kn，对两边同除以d，则r/d=m/d-kn/d=z，不难看出z为整数，所以d也可以被r整除，所以d是m mod n 和 n 的公约数

      再假设d是n, m mod n 的公约数，则d就是n，m-kn的公约数，声明一下k是整数。那么很容易得出m可以整除d，所以d是m，n的公约数。

     所以可以得出结论（m，n）和（n，m mod n）公约数一样。

举个例子：

求1250和30的最大公约数

1250=41*30+20

30=1*20+10

20=2*10+0

10就是这两个数的最大公约数。

原理解决了，下面就来算法实现吧！

#include<iostream>
using namespace std;

long GCD(long m,long n) {//这里的m,n可以不按从大到小顺序传参
	if (n == 0)
		return m;
	else
		return GCD(n , m % n);
}

int main() {
	int m, n;
	cout << "Enter two numbers:";
	cin >> m >> n;
	long v = GCD(m, n);
	cout << v;
	system("pause");
	return 0;
}