light oj 1132【矩阵快速幂】/【伯努利数】

题目：http://vjudge.net/problem/LightOJ-1132

做快速幂专题做到的题

题意：给定n、k，求自然数的k次幂的和，结果对2^32取模。

分析：
令S(n)=1^k+2^k+…+n^k

有两种做法，看到n^k，想到xiongmao之前说的沈阳的题，通项里有i^4,两题构造方式一样。

由二项式定理，(n+1)^k展开C(k,0)*n^k+C(k,1)*n^(k-1)+…+C(k,k)*n^0，可知(n+1)^k能由

n^k,n^(k-1)…,n^0推出，那么列数为1的矩阵就是$\begin{pmatrix}n^k\\n^{k-1}\\n^{k-2}\\...\\n^0\\S(n-1)\end{pmatrix}$ 我们就可以构造一个(k+2)*(k+2)的矩阵$\qquad \begin{pmatrix}C(k,0)&C(k,1)&...&C(k,k)&0 \\0&C(k-1,0)&...&C(k-1,k-1)&0\\0&0&C(k-2,0)&C(k-2,k-2)&0\\.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.\\0&0&...&C(0,0)&0\\C(k,0)&C(k,1)&...&C(k,k)&0\end{pmatrix}$, 组合数可以打表预处理。

第二种

//前置技能：伯努利数(https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%AF%E5%8A%AA%E5%88%A9%E6%95%B0)***逆元不可求 //待证

// $B_0=1,且C_{n+1}^0*B_0+C_{n+1}^1*B_1+...C_{n+1}^n*B_n=0$;

//那么，$B_n=\frac{-1}{n+1}*\sum_{i=0}^{n-1}C_{n+1}^i*B_i\qquad$

//$S(n)=\frac{1}{k+1}*\sum_{i=1}^{k+1}C_{k+1}^i*B_{k+1-i}*(n+1)^i$

//可以预处理逆元

mod为2^32 不是素数 预处理不可求逆元 伯努利数似乎不可行