Lightoj 1132 Summing up Powers(矩阵快速幂)-优快云博客

本文介绍了一种使用矩阵快速幂解决特定幂和问题的方法，该问题为求(1^k+2^k+...+n^k)%2^32，其中n<=1e15且k<=50。通过利用二项式定理和矩阵快速幂技术，文章提供了一个高效的解决方案。

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题意：给你n和k，求(1^k + 2^k + 3^k + ... + n^k) % 2^32， n <= 1e15, k <= 50

思路：可以知道f(x+1) = f(x) + (x+1)^k,

(x+1)^k 可以用二项式定理展开变成C(k, 0)*x^k+C(k, 1)*x^(k-1)...+C(k, k)*x^0

这就可以构造矩阵快速幂了。

具体思路：

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 55;
unsigned int c[maxn][maxn];
ll n, K;
struct node
{
    unsigned int s[maxn][maxn];
};

node mul(node a, node b)
{
    node t;
    memset(t.s, 0, sizeof(t.s));
    for(int i = 0; i < K+2; i++)
        for(int k = 0; k < K+2; k++)
            for(int j = 0; j < K+2; j++)
                t.s[i][j] = t.s[i][j]+a.s[i][k]*b.s[k][j];
    return t;
}

node mt_pow(node p, ll k)
{
    node q;
    memset(q.s, 0, sizeof(q.s));
    for(int i = 0; i < K+2; i++)
        q.s[i][i] = 1;
    while(k)
    {
        if(k%2) q = mul(p, q);
        p = mul(p, p);
        k /= 2;
    }
    return q;
}

void init()
{
    for(int i = 1; i < maxn; i++)
        for(int j = 0; j <= i; j++)
        {
            if(!j || j==i) c[i][j] = 1;
            else c[i][j] = c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
         }
}

int main(void)
{
    init();
//    freopen("out.txt", "w", stdout);
    int _, ca = 1;
    cin >> _;
    while(_--)
    {
        scanf("%lld%lld", &n, &K);
        if(K == 0) printf("Case %d: %u\n", ca++, (unsigned int)n);
        else
        {
            node base;
            memset(base.s, 0, sizeof(base.s));
            base.s[0][0] = 1;
            for(int i = 1; i < K+2; i++) base.s[0][i] = c[K][i-1];
            for(int i = 1; i < K+1; i++)
                for(int j = i; j < K+2; j++)
                    base.s[i][j] = c[K-i+1][j-i];
            base.s[K+1][K+1] = 1;
            node ans = mt_pow(base, n-1);
            unsigned int res = 0;
            for(int i = 0; i < K+2; i++)
                res += ans.s[0][i];
            printf("Case %d: %u\n", ca++, res);
        }
    }
    return 0;
}