错排问题

最新推荐文章于 2020-12-19 21:25:33 发布

原创最新推荐文章于 2020-12-19 21:25:33 发布 · 318 阅读

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本文深入探讨了错位排列算法的原理与应用，通过递归公式D(n)=(n-1)[D(n-2)+D(n-1)]，解析了n个元素在n个位置上进行错位排列的所有可能方法数。并提供了AC代码实现，利用动态规划方法预计算出D(n)的值，以高效解决错位排列问题。

原理：

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；

综上得到

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

题目链接

AC代码：

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    long long int a[21];
    a[1]=0;a[2]=1;
    for(int i=3;i<=20;i++)
        a[i]=(i-1)*(a[i-2]+a[i-1]);
    while(cin>>n)
    cout<<a[n]<<endl;
    return 0;
}