UVA 12716 GCD XOR

最新推荐文章于 2021-08-07 16:28:44 发布

wlhz2017

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分类专栏：数论文章标签：数学

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题目要求找到所有小于等于n的整数对(a, b)，满足a > b，且a与b的最大公约数的异或值等于a与b的乘积。通过观察，发现当a与b的公约数为c时，a可以表示为c的倍数，b则可以通过a异或c得到。进一步分析，如果b满足条件axorb=gac(a,b)，那么b一定等于a减去gcd(a,b)。因此，可以枚举a、c，计算出b，并验证gcd(a,b)是否为c以及a^b是否等于c。算法的时间复杂度为O(nlogn)。" 88381881,4832771,理解nginx的信号机制,"['nginx源码分析', '进程通信', '信号处理']

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题意：求小于等于n的(a,b) 满足 a>b且 axorb=gac(a,b)的所以(a,b)数目

n有30000000这么大所以一直在想什么O(1)的算法然而后来才发现 T放宽到5秒还不限内存 Orz

设c为gcd(a,b) 而亦或的特性是满足a^b=c 则 a^c=b。

所以我们可以枚举c 而a是c的倍数所以可以再枚举a 再算出b=a^c 再检查是否满足 gcd(a,b)==c

而这题还有一个神奇的特性即若b满足 axorb=gac(a,b) 则 b一定为 a-gcd(a,b)

这样我们枚举出a,c 的时候 b=a-c 而这时gcd(a,b)是一定为c的（原因同辗转相减法）只需验证是否a^b==c

时间复杂度O(nlogn)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<set>
#define scnaf scanf
#define cahr char
#define bug puts("bugbugbug");
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int mod=1000000007;
const int maxn=3e7+10;
const int inf=1e9;
int ans[maxn];
int main()
{
    for(int n=1;n<maxn;n++)//n作为因子 即gcd(a,b)
    {
        for(int i=2;i*n<maxn;i++){
            int a=i*n;
            int b=a-n;
            if( (a^b) == n) {
                    ans[a]++;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<maxn;i++)
       ans[i]+=ans[i-1];
    int T_T,n,test=1;
    scanf("%d",&T_T);
    while(T_T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("Case %d: %d\n",test++,ans[n]);
    }
    return 0;
}