UVa1363 约瑟夫的数论问题_约瑟夫数论-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weijifen000/article/details/82761309

输入正整数n和k（1≤n，k≤ $10^9$ ），计算 $∑i=1nkmod  i\sum _{i=1}^n k \mod i$ 。

$100÷34=2......32100\div 34=2......32$
$100÷35=2......30100\div 35=2......30$
$100÷36=2......28100\div 36=2......28$
…
$100÷51=1......49100\div 51=1......49$
$100÷52=1......48100\div 52=1......48$
$100÷53=1......47100\div 53=1......47$
可以看到被除数固定，除数逐次加1，余数是有规律的。在这里假设k/i的整数部分为p，余数部分为 $kmod  i=k−p∗ik\mod i=k-p*i$ ，如果k/(i+1)的整数部分也为p，则余数部分为 $kmod  (i+1)=k−p∗(i+1)=kmod  i−pk\mod (i+1)=k-p*(i+1)=k\mod i-p$ ，可以看到，此时余数是公差为 $- p$ 的等差数列。
这时，可以在枚举i的时候把等差数列的和加到答案中。这里需要计算满足[k/i]=[k/j]=p的最大的j。

当p=0时，j不存在，等差数列一直延续到最后。
当p不为0时，j为满足 $k/j≥pk/j\geq p$ 。则 $j≤k/pj\leq k/p$

要注意到等差数列 $a_n$ 前n项和的通项公式为 $Sn=na1+n(n−1)2dS_n=na_1+\frac {n(n-1)} 2 d$ ，由于题目所给的条件接近int类型的极限，所以计算过程中可能会越界，需要用long long类型保存。
完整代码：

//#define LOCAL
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>

using namespace std;

typedef long long LL;

int main()
{
#ifdef LOCAL
    freopen("data.in", "r", stdin);
    freopen("data.out", "w", stdout);
#endif // LOCAL
    int n, k;
    LL ans;
    int p;
    while (cin >> n >> k)
    {
        ans = 0LL;
        int j;
        for (int i = 1; i <= n;)
        {
            p = k / i;
            if (p == 0)
                j = n;
            else
                j = k / p;
            if (j > n)
                j = n;
            ans += (LL)(k % i) * (j - i + 1) - (LL)(j - i + 1) * (j - i) / 2 * p;
            i = j + 1;
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}