UVa 1363 约瑟夫的数论问题

最新推荐文章于 2019-07-24 13:30:08 发布

01的世界

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分类专栏：数学概念与方法

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本文探讨了一道关于模运算求和的问题，通过分析发现当n大于k时的特殊情况，并利用等差数列的性质解决该问题。作者分享了在解决过程中遇到的溢出问题及解决方法。

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题目：

题目链接

题意：

给定n, k,求出∑ni=1(k mod i )

分析：

这题不难，但是我一直WA了七次，我的思路跟书上的是一样的，一直找错误，一直WA，但一直找不到我哪里错了，后来无奈，看了刘汝佳的代码，他实现起来没有讨论k和n谁小谁大，直接比较的，而我先讨论了，n>=k的情况（因为这时候，对于所有的i>k，ans都要加上k)，然后再用等差公式求解n<k的情况，思路是对的，但是我没有考虑到(n-k)*k会溢出，所以WA了好多次，所以写下了为以后提个醒。

看个例子n=10，k=8;

求和i从1到n: 0 0 2 0 3 2 1 0 8 8

可以看出，对于i>k，以后的所有数，都是+8，对于i<K的数，其中有一个明显的规律，3 2 1 0这是一个等差数列，d=-1，而1==k/i（i为5 6 7 8），整段长度处在2个0之间，也就是k可以整除的2个数之间，所以根据这个规律就可求了。具体参考代码。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
    int n,k;
    while(~scanf("%d%d",&n,&k)){
        ll ans=0;
        if(n>k)ans=(ll)(n-k)*k,n=k-1; //这里要注意，会爆int，完全没考虑到这里。。
        int i=1,j;
        while(i<=n){
            int p=k/i;
            int m=k%i;
            if(m==0){
                i++;continue;
            }
            j=k/p; //j是k的整除位置
            if(j>n)j=n;
            int num=j-i+1;
            ans+=(ll)num*m-(ll)num*(num-1)/2*p; //等差数列公式n*a1+(n)*(n-1)/2*d
            i=j+1;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}