字符串最短编辑距离问题

本文探讨如何通过动态规划解决字符串最短编辑距离问题,分析特殊情况并建立状态转移方程,详细介绍算法实现过程。

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问题:

设 A 和 B 是两个字符串。我们要用最少的字符操作次数,将字符串 A 转换为字符串 B 。这里所说的字符操作共有三种:

  1. 删除一个字符;
  2. 插入一个字符;
  3. 将一个字符改为另一个字符。

对任给的两个字符串 A 和 B ,计算出将字符串 A 变换为字符串 B 所用的最少字符操作次数。

样例:

2
bcodeqwrty
bdq
baician
bczdd

输出:

7
5

这个问题本质上是一个无向图的问题,固定了起点和终点,起点为字符串 A ,终点为字符串 B 。但是每一个点所对应的分支太多。所以我们需要对其进行转化。

在以下特殊情况下,最短编辑距离容易求出:

  • 当 A 、 B 的长度都为 0 时,最短编辑距离为 0
  • 当 A 的长度为 0 , B 的长度不为 0 ,最短编辑距离为 A 的长度
  • 当 A 的长度不为 0 , B 的长度为 0 ,,最短编辑距离为 B 的长度

我们可以将所有的字符串转化为以上的三种情况。

可以尝试使用动态规划来解决。动态规划对于有向无环图比较合适,如果我们只对字符串 A 、 B 的最后一个字符做操作,而且将“增删改”变为“删改”,那么无向图就变成了有向无环图。

使用动态规划,首先需要定义状态。我们可以把 A,B 变换成的子串的长度 (i,j)(i,j)(i,j) 看成一个状态,然后定义状态 (i,j)(i,j)(i,j) 的指标函数 d(i,j)d(i,j)d(i,j)(i,j)(i,j)(i,j) 变为相同子串所需的最小编辑次数。

然后观察不同状态之间是如何转移的,从状态 (i,j)(i,j)(i,j) 出发有三种决策,分别对应题目中所给出的三种字符操作(三种字符操作都是对最后一个字符的操作)。

  1. 删除一个字符 ==> 删除 A 字符串的最后一个字符,转移到了 (i−1,j)(i-1,j)(i1,j)
  2. 插入一个字符 ==> 在 A 字符串末尾插入 B 字符串的一个字符,相当于 B 字符串删除一个字符,转移到了 (i,j−1)(i,j-1)(i,
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