14、平滑博弈中的稳健无政府价格边界

平滑博弈中的稳健无政府价格边界

1. 无政府价格（POA）边界证明的四步方法

在博弈论中，无政府价格（Price of Anarchy, POA）用于衡量博弈中均衡状态下的社会成本与最优状态下社会成本的比率。对于具有仿射成本函数的原子自私路由网络，其POA至多为5/2，证明过程包含以下四个关键步骤：
1. 利用均衡条件界定个体成本 ：给定任意纯纳什均衡（PNE）(s)，对于每个参与者(i)，以最优结果(s^ )为假设偏差，根据均衡假设得到不等式(C_i(s) \leq C_i(s^ i, s {-i}))。这里的偏差(s^ )与PNE (s)的选择无关，且在整个证明过程中，PNE假设仅在此处使用。
2. 累加不等式界定总均衡成本 ：将上述(k)个界定个体均衡成本的不等式对所有参与者求和。得到的不等式（12.9）左边是PNE (s)的成本，右边是一个关于(s)和(s^ )的复杂纠缠函数。
3. 关联纠缠项与均衡和最优成本 ：这是最困难的一步，需要将上一步得到的纠缠项(\sum_{i=1}^{k} C_i(s^ i, s {-i}))与我们关心的两个量——(s)和(s^ )的成本联系起来。具体而言，不等式（12.10）证明了该纠缠项的上界为(\frac{5}{3} \sum_{i=1}^{k} C_i(s^ ) + \frac{1}{3} \sum_{i=1}^{k} C_i(s))。此步骤仅涉及代数运算，与(s)作为PNE和(s^ )作为最优结