13、均衡：定义、示例与存在性

均衡：定义、示例与存在性

1. 引言

在博弈论中，均衡是一个核心概念。原子自私路由网络中的均衡流是一种“纯”纳什均衡，即参与者不会在路径选择上进行随机化。然而，像石头 - 剪刀 - 布游戏表明，有些博弈不存在纯纳什均衡。那么，在什么情况下纯纳什均衡一定存在？对于没有纯纳什均衡的博弈，我们又该如何分析呢？接下来将介绍纯纳什均衡的三种松弛概念，它们在所有有限博弈中都一定存在，并且计算难度逐渐降低。

2. 均衡概念层次结构

2.1 成本最小化博弈

成本最小化博弈包含以下要素：
- 有限数量 (k) 的参与者。
- 每个参与者 (i) 有一个有限的纯策略集 (S_i)。
- 每个参与者 (i) 有一个非负成本函数 (C_i(s))，其中 (s \in S_1 \times \cdots \times S_k) 表示一个策略组合或结果。

例如，每个原子自私路由网络都对应一个成本最小化博弈，(C_i(s)) 表示在其他参与者选择的路径给定的情况下，参与者 (i) 在其选择的路径上的旅行时间。

2.2 纯纳什均衡（PNE）

纯纳什均衡是指在一个结果中，参与者的单方面偏离只会增加其成本。正式定义如下：
对于成本最小化博弈的一个策略组合 (s)，如果对于每个参与者 (i \in {1, 2, \cdots, k}) 和每个单方面偏离 (s_i’ \in S_i)，都有 (C_i(s) \leq C_i(s_i’, s_{-i}))，则 (s) 是一个纯纳什均衡（PNE）。这里 (s_{-i}) 表示去掉第 (i) 个分量后的所有策略向量。

纯纳什均